Calcular os seguinte limites usando as propriedades de limites.
lim x pi / 2[2 sin x-cos x+tg x].

Passo 1

O enunciado pede para calcular . O conteúdo envolvido são limites de funções trigonométricas e vamos usar a propriedade de que o limite de uma soma é a soma dos limites (desde que existam).

Passo 2

Pela propriedade de soma de limites, escrevemos:

e só se todos esses limites existirem de forma finita.
Calculamos limx to pi/2 [2sin x - cos x + tg x] = limx to pi/2 2sin x - limx to pi/2 cos x + limx to pi/2 tg x,. Como limx to pi/2 2sin x, temos:
sin(pi/2)=1
Calculamos limx to pi/2 2sin x = 2cdot 1 = 2. Como limx to pi/2 (-cos x), segue:
cos(pi/2)=0

Passo 3

Analisamos . Lembrando que e limx to pi/2 tg x, temos que o denominador tende a zero. Especificamente:
  • Pela esquerda ( tg x = sin xcos x), .
  • Pela direita ( cos(pi/2)=0), .
    Logo, o limite de em xtopi/2^- não existe (dá divergência infinita).

Passo 4

Como um dos limites parciais (o de ) não existe de forma finita, não podemos somar os limites e concluir um valor finito. Portanto, o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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