Para uma distribuição de cargas estacionária e uma distribuição de corrente com divergente nulo, os campos elétrico e magnético E(x, y, z) e H(x, y, z) satisfazem
rot(E)=0, div(H)=0, div(J)=0, div(E)=rho e rot(H)=J
Aqui estamos supondo que rho(x, y, z) e J(x, y, z) são conhecidos. A radiação que os campos produzem através de uma superfície S é determinada por um campo vetorial de densidade do fluxo de radiação, chamado campo vetorial de Poynting:
P:=E times H
Sejam S uma superfície fechada e W o sólido limitado por S. Mostre que
integral duplaSlang<= P, nrang<= d s=-integral triplaWlang<= E, Jrang<= d V
Use a identidade: div(E times H)=lang<= H, rot(E)rang<=-lang<= E, rot(H)rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos distribuições estáticas de carga e de corrente onde algumas condições específicas são satisfeitas. O problema envolve os campos elétrico $ E $ e magnético $ H $, e a gente quer mostrar uma relação entre o fluxo de Poynting através de uma superfície fechada $ S $ e a integral do produto escalar de $ E $ com a corrente $ J $ dentro do volume $ W $ limitado por $ S $. Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente as identidades de divergência e rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo de Poynting é definido como $ P = E \times H $. A gente precisa calcular a integral de $ P $ sobre a superfície $ S $, ou seja, $ \iint_{S} \langle P, \vec{n} \rangle , ds $, onde $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para relacionar essa integral com o volume $ W $, vamos usar o teorema da divergência, que nos diz que a integral de uma divergente sobre um volume é igual à integral do fluxo desse campo através da superfície que envolve o volume. Ou seja:
W

Passo 4

Agora, substituímos $ P $ por $ E \times H $:
P
Essa é a identidade que a questão nos deu para usar.

Passo 5

Vamos analisar cada termo da identidade. Sabemos que $ \operatorname{rot}(E) = 0 $ e $ \operatorname{rot}(H) = J $ pelas condições do problema. Substituindo esses valores na identidade:
rot(E) = 0

Passo 6

Agora, colocamos isso de volta na integral do volume:
integral triplaW div(E times H) , dV = integral triplaW (- lang<= E, J rang<=) , dV = - integral triplaW lang<= E, J rang<= , dV

Passo 7

Finalmente, combinando tudo, temos que:
integral duplaS lang<= P, n rang<= , ds = - integral triplaW lang<= E, J rang<= , dV

Resposta

Portanto, mostramos que a integral do campo de Poynting sobre a superfície fechada $ S $ é igual ao negativo da integral do produto escalar de $ E $ com $ J $ dentro do volume $ W $:
S

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