Para uma distribuição de cargas estacionária e uma distribuição de corrente com divergente nulo, os campos elétrico e magnético
e
satisfazem
Aqui estamos supondo que
e
são conhecidos. A radiação que os campos produzem através de uma superfície
é determinada por um campo vetorial de densidade do fluxo de radiação, chamado campo vetorial de Poynting:
Sejam
uma superfície fechada e
o sólido limitado por
. Mostre que
Use a identidade:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos distribuições estáticas de carga e de corrente onde algumas condições específicas são satisfeitas. O problema envolve os campos elétrico $ E $ e magnético $ H $, e a gente quer mostrar uma relação entre o fluxo de Poynting através de uma superfície fechada $ S $ e a integral do produto escalar de $ E $ com a corrente $ J $ dentro do volume $ W $ limitado por $ S $. Para resolver isso, vamos usar cálculo vetorial, especificamente as identidades de divergência e rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo de Poynting é definido como $ P = E \times H $. A gente precisa calcular a integral de $ P $ sobre a superfície $ S $, ou seja, $ \iint_{S} \langle P, \vec{n} \rangle , ds $, onde $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para relacionar essa integral com o volume $ W $, vamos usar o teorema da divergência, que nos diz que a integral de uma divergente sobre um volume é igual à integral do fluxo desse campo através da superfície que envolve o volume. Ou seja:
Passo 4
Agora, substituímos $ P $ por $ E \times H $:
Essa é a identidade que a questão nos deu para usar.
Passo 5
Vamos analisar cada termo da identidade. Sabemos que $ \operatorname{rot}(E) = 0 $ e $ \operatorname{rot}(H) = J $ pelas condições do problema. Substituindo esses valores na identidade:
Passo 6
Agora, colocamos isso de volta na integral do volume:
Passo 7
Finalmente, combinando tudo, temos que:
Resposta
Portanto, mostramos que a integral do campo de Poynting sobre a superfície fechada $ S $ é igual ao negativo da integral do produto escalar de $ E $ com $ J $ dentro do volume $ W $: