Suponhamos que um campo
seja tangente a uma superfície fechada
de uma região sólida
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um campo vetorial $ F $ que é tangente a uma superfície fechada $ S = \partial W $, onde $ W $ é uma região sólida. Nosso objetivo é mostrar que a integral tripla de $ \operatorname{div}(F) $ sobre $ W $ é igual a zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta integrais de volume com integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que para qualquer campo vetorial $ F $ suave em uma região $ W $ com fronteira $ S $:
Aqui, $ n $ é o vetor normal à superfície $ S $ apontando para fora de $ W $.
Passo 3
No nosso caso, o problema nos diz que o campo $ F $ é tangente à superfície $ S $. Isso significa que, em cada ponto de $ S $, o vetor $ F $ está paralelo à superfície, ou seja, ele não tem componente na direção normal $ n $. Matematicamente, isso se traduz em:
Passo 4
Agora, voltando ao Teorema da Divergência:
Mas como $ F \cdot n = 0 $ em toda a superfície $ S $, a integral de superfície fica:
Portanto, substituindo de volta na equação do teorema: