Suponhamos que um campo F seja tangente a uma superfície fechada S=partial W de uma região sólida W. Mostre que integral triplaW div(F) d V=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um campo vetorial $ F $ que é tangente a uma superfície fechada $ S = \partial W $, onde $ W $ é uma região sólida. Nosso objetivo é mostrar que a integral tripla de $ \operatorname{div}(F) $ sobre $ W $ é igual a zero, ou seja:
F
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que conecta integrais de volume com integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que para qualquer campo vetorial $ F $ suave em uma região $ W $ com fronteira $ S $:
F
Aqui, $ n $ é o vetor normal à superfície $ S $ apontando para fora de $ W $.

Passo 3

No nosso caso, o problema nos diz que o campo $ F $ é tangente à superfície $ S $. Isso significa que, em cada ponto de $ S $, o vetor $ F $ está paralelo à superfície, ou seja, ele não tem componente na direção normal $ n $. Matematicamente, isso se traduz em:
F í

Passo 4

Agora, voltando ao Teorema da Divergência:
integral triplaW div(F) , dV = integral duplaS F cdot n , dS
Mas como $ F \cdot n = 0 $ em toda a superfície $ S $, a integral de superfície fica:
F cdot n = 0
Portanto, substituindo de volta na equação do teorema:
S

Resposta

integral triplaW div(F) , dV = 0

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