Calcular as seguintes derivadas:
pontos
Utilizando a derivação implícita, determine
da função
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $ usando derivação implícita na função $ x + \tan(xy) = 4 $. A derivação implícita é usada quando $ y $ está misturado com $ x $ de uma forma que não dá pra isolar $ y $ facilmente. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar as regras da derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $. A equação é:
Derivando $ x $ em relação a $ x $, a gente sabe que a derivada é 1.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ \tan(xy) $. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \tan(u) $ é $ \sec^2(u) $ multiplicado pela derivada de $ u $. Aqui, $ u = xy $.
Passo 4
Então, a derivada de $ \tan(xy) $ será:
Agora, precisamos derivar $ xy $. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ xy $ é $ y + x \frac{dy}{dx} $.
Passo 5
Substituindo, temos:
Então, a derivada total da equação fica:
Isso porque a derivada de 4, que é uma constante, é 0.
Passo 6
Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por $ \sec^2(xy) \cdot x $:
Podemos simplificar dividindo cada termo no numerador por $ \sec^2(xy) \cdot x $:
Resposta
A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é: