Calcular as seguintes derivadas:
(4,0 pontos ) Utilizando a derivação implícita, determine d yd x da função x+tg(x y)=4.

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $ usando derivação implícita na função $ x + \tan(xy) = 4 $. A derivação implícita é usada quando $ y $ está misturado com $ x $ de uma forma que não dá pra isolar $ y $ facilmente. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar as regras da derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a $ x $. A equação é:
x
Derivando $ x $ em relação a $ x $, a gente sabe que a derivada é 1.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ \tan(xy) $. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \tan(u) $ é $ \sec^2(u) $ multiplicado pela derivada de $ u $. Aqui, $ u = xy $.

Passo 4

Então, a derivada de $ \tan(xy) $ será:
tan(xy)
Agora, precisamos derivar $ xy $. Usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ xy $ é $ y + x \frac{dy}{dx} $.

Passo 5

Substituindo, temos:
sec^2(xy) cdot (y + x dydx)
Então, a derivada total da equação fica:
1 + sec^2(xy) cdot (y + x dydx) = 0
Isso porque a derivada de 4, que é uma constante, é 0.

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \frac{dy}{dx} $:
dydx
1 + sec^2(xy) cdot y + sec^2(xy) cdot x dydx = 0

Passo 7

Dividindo ambos os lados por $ \sec^2(xy) \cdot x $:
sec^2(xy) cdot x
Podemos simplificar dividindo cada termo no numerador por $ \sec^2(xy) \cdot x $:
dydx = -1 - sec^2(xy) cdot y sec^2(xy) cdot x

Resposta

A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
y

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