Calcule a transformada das funções abaixo:
f(t)=A cdot e^b t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = A \cdot e^{b t} $. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e a fórmula específica para funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. A fórmula geral da transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é:
t

Passo 3

No nosso caso, a função $ f(t) $ é $ A \cdot e^{b t} $. Vamos substituir essa função na fórmula da transformada de Laplace:
f(t)

Passo 4

Podemos fatorar a constante $ A $ para fora da integral:
A

Passo 5

Agora, combinamos os termos exponenciais:
A cdot integral0^+infty e^(b - s) t , dt

Passo 6

Para resolver a integral $ \int_{0}^{+\infty} e^{(b - s) t} , dt $, precisamos que a parte exponencial decaia para que a integral convirja. Isso acontece quando $ s > b $. Sob essa condição, a integral se torna:
integral0^+infty e^(b - s) t , dt

Resposta

A transformada de Laplace da função $ f(t) = A \cdot e^{b t} $ é:
f(t) = A cdot e^b t

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