Calcule a transformada das funções abaixo:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da função $ f(t) = A \cdot e^{b t} $. Para isso, vamos precisar conhecer a definição da transformada de Laplace e a fórmula específica para funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ s $. A fórmula geral da transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é:
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(t) $ é $ A \cdot e^{b t} $. Vamos substituir essa função na fórmula da transformada de Laplace:
Passo 4
Podemos fatorar a constante $ A $ para fora da integral:
Passo 5
Agora, combinamos os termos exponenciais:
Passo 6
Para resolver a integral $ \int_{0}^{+\infty} e^{(b - s) t} , dt $, precisamos que a parte exponencial decaia para que a integral convirja. Isso acontece quando $ s > b $. Sob essa condição, a integral se torna:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) = A \cdot e^{b t} $ é: