Calcular os seguintes limites:
(3,0 pontos ) lim x +infty 2 x+5raiz2 x^2-5

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ tende a mais infinito da expressão x . Estamos trabalhando com limites no cálculo, especificamente com funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento dos termos de maior grau no numerador e no denominador quando $ x $ cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, observe que tanto no numerador quanto no denominador temos termos que envolvem $ x $. No numerador, o termo de maior grau é $ 2x $, e no denominador, dentro da raiz quadrada, o termo de maior grau é $ 2x^2 $.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dividindo cada termo pelo maior poder de $ x $ que aparece na expressão. No numerador, dividimos por $ x $, e no denominador, como está dentro de uma raiz quadrada, dividimos por $ x $ dentro da raiz:
x

Passo 4

Agora, simplificamos $ x $ no numerador e no denominador:
x

Passo 5

Vamos analisar o que acontece quando $ x $ tende a mais infinito. Os termos x e 5x vão se aproximar de 0, porque dividir um número fixo por algo que cresce sem limites resulta em zero.
5x^2

Passo 6

Para simplificar 2raiz2, multiplicamos numerador e denominador por raiz2:
2raiz2 times raiz2raiz2 = 2raiz22 = raiz2

Resposta

O limite é $ \sqrt{2} $.

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