Calcular os seguintes determinantes:
|cccc1 & 2 & 3 & 4 2 & 5 & 7 & 9 3 & 10 & 12 & 15 5 & 21 & 15 & 18|

Passo 1

Estamos querendo calcular o determinante da matriz
A= 1 & 2 & 3 & 4 2 & 5 & 7 & 9 3 & 10 & 12 & 15 5 & 21 & 15 & 18
O conteúdo envolve propriedades de determinante e operações elementares de linha, que não alteram o valor do determinante quando fazemos substituição de uma linha pela própria linha menos múltiplos de outra.

Passo 2

Aplicamos operações de linha para introduzir zeros na primeira coluna abaixo de a11=1, sem alterar o determinante:
L2 L2-2L1
L3 L3-3L1
L4 L4-5L1
Isso leva a
1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 1 & 1 0 & 4 & 3 & 3 0 & 11 & 0 & -2
Como a primeira coluna ficou (1,0,0,0)^T, temos
det(A) =1cdot det 1 & 1 & 1 4 & 3 & 3 11 & 0 & -2

Passo 3

Denotemos
B= 1 & 1 & 1 4 & 3 & 3 11 & 0 & -2
Vamos calcular det(B). Ainda podemos usar operações de linha no bloco B:
L2 L2-4L1
L3 L3-11L1
Obtemos
1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 0 & -11 & -13

Passo 4

Agora expandimos por cofactor na primeira coluna desse 3times3:
det(B) =1cdot det -1 & -1 -11 & -13 =(-1)(-13)-(-1)(-11) =13-11=2
Logo det(A)=1cdotdet(B)=2.

Resposta

2

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