Exemplifique, se possível, as situações descritas nos itens a seguir. Caso não seja possível, justifique.
T: R^2 R^3 linear, tal que N(T)=[(1,2)] e Im(T)=[(1,1,0)].

Passo 1

O enunciado pede um operador linear
,T:R^2toR^3,
tal que
N(T)=span(1,2)
e
Im(T)=span(1,1,0).
O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e construção de T via escolha de base.

Passo 2

Usamos o Teorema da Dimensão em R^2:
dimN(T)+dimIm(T)=2
Aqui dimN(T)=1 e dimIm(T)=1, logo 1+1=2. Não há contradição, existe tal T.

Passo 3

Escolhemos uma base de R^2 adaptada ao núcleo:
v1=(1,2)inN(T), v2=(2,-1)notinN(T)
Assim v1,v2 é base de R^2.

Passo 4

Definimos T de forma a respeitar núcleo e imagem:
T(v1)=0inR^3, T(v2)=(1,1,0)inR^3

Passo 5

Para (x,y)inR^2 escrevemos
(x,y)=a,v1+b,v2 =(a+2b,;2a-b)
Resolvendo para b obtém-se
b=2x-y5,
então
T(x,y) =b,(1,1,0) =l(2x-y5,,2x-y5,,0r)

Passo 6

Verificações rápidas:
  1. Se (x,y)inN(T) então T(x,y)=0 implica 2x-y=0, ou seja (x,y)inspan(1,2).
  2. A imagem de T é b(1,1,0), ou seja span(1,1,0).

Resposta

Um exemplo explícito é
T(x,y)=l(2x-y5,,2x-y5,,0r),
que satisfaz
N(T)=span(1,2) e
Im(T)=span(1,1,0).

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