Exemplifique, se possível, as situações descritas nos itens a seguir. Caso não seja possível, justifique.
linear, tal que
e
.
Passo 1
O enunciado pede um operador linear
tal que
e
.
O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e construção de via escolha de base.
tal que
e
O conteúdo usado será o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e construção de
Passo 2
Usamos o Teorema da Dimensão em
:
Aqui
e
, logo
. Não há contradição, existe tal
.
Passo 3
Escolhemos uma base de
adaptada ao núcleo:
Assim
é base de
.
Passo 4
Definimos
de forma a respeitar núcleo e imagem:
Passo 5
Para
escrevemos
Resolvendo para
obtém-se
então
Passo 6
Verificações rápidas:
- Se
então implica , ou seja . - A imagem de
é , ou seja .
Resposta
Um exemplo explícito é
que satisfaz
e
.