Encontre os seguintes limites. (Estes limites seguem, após algumas manipulações algébricas, das várias partes do Teorema 2; certifique-se de saber quais são usados em cada caso, mas não se preocupe em listá-los.)
lim x y x^n-y^nx-y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \ limxto yx^n - y^nx - y sendo n um inteiro positivo. Vamos usar álgebra elementar (identidade de fatoração de diferenças de potências) para resolver.

Passo 2

A identidade algébrica que precisamos é:
x^n - y^n = (x - y)l(x^n-1 + x^n-2y + x^n-3y^2 + cdots + xy^n-2 + y^n-1r)
Isso vem da soma de uma progressão geométrica quando expandimos.

Passo 3

Substituindo essa fatoração no quociente, temos:
x^n - y^nx - y = (x - y)l(x^n-1 + x^n-2y + cdots + y^n-1r)x - y = x^n-1 + x^n-2y + cdots + y^n-1
Aqui simplificamos o fator (x-y), obtendo a soma de n termos.

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando x to y. Como cada termo da soma é contínuo em x, só precisamos substituir x = y dentro da expressão:
limxto yl(x^n-1 + x^n-2y + cdots + y^n-1r) = y^n-1 + y^n-1 + cdots + y^n-1 (total de n termos)
Isso dá n,y^n-1.

Resposta

n,y^n-1

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