Considere a função
Verifique se é possível definir um valor de
de tal forma que seja possível remover a descontinuidade em
. Explique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a função:
Queremos ver se dá pra definir um valor para $ f(0,0) $ de modo que a função fique contínua nesse ponto. Isso envolve conhecimentos de limite e continuidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa remover uma descontinuidade. Isso acontece se a gente conseguir definir $ f(0,0) $ de tal forma que o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
exista e seja igual a esse valor.
Então, vamos calcular:
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $, e $ x^{2} + y^{2} = r^{2} $. Assim, a função fica:
Agora, queremos calcular:
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função $ \frac{\cos(r{2})}{r{2}} $ quando $ r $ se aproxima de 0.
Sabemos que $ \cos(r^{2}) $ pode ser expandido em série de Taylor:
Então,
Passo 5
Observando a expressão acima, vemos que à medida que $ r $ se aproxima de 0, o termo $ \frac{1}{r^{2}} $ tende ao infinito, já que $ r^{2} $ está no denominador. Os outros termos tendem a 0 ou ficam limitados, mas o termo dominante é $ \frac{1}{r^{2}} $.
Portanto,
Isso significa que o limite não existe de forma finita.
Resposta
Não é possível definir um valor para $ f(0,0) $ que remova a descontinuidade, pois o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
tende ao infinito. Portanto, a descontinuidade em
não pode ser removida.