Calcular as seguintes integrais impráprias (ou detarminar sua Comengéncia)
integral2^infty d x(x^2-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral2^inftydx(x^2-1)^2. O conteúdo envolve integrais impróprias e técnicas de frações parciais para encontrar a antiderivada e depois avaliar o limite infinito.

Passo 2

Primeiro observamos a convergência: para xtoinfty, o integrando se comporta como 1/x^4, cuja integral converge. Em seguida, definimos o antiderivada via decomposição em frações parciais.
Fazendo a decomposição em frações parciais para 1(x-1)^2(x+1)^2, encontramos:
1(x^2-1)^2=14l(-1x-1+1(x-1)^2+1x+1+1(x+1)^2r)

Passo 3

Integramos cada termo usando as regras:
integraldxx-a=ln|x-a|, integraldx(x-a)^2=-1x-a
Assim a antiderivada geral é
F(x)=14lnx+1x-1-14(x-1)-14(x+1)+C

Passo 4

Agora avaliamos o valor definido:
integral2^inftydx(x^2-1)^2=limbtoinftyl[F(b)-F(2)r]
Como F(b)to0 quando btoinfty, resta -F(2).
Calculamos
F(2)=14ln3-14-112=14ln3-13,
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Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\ln3

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