Calcular as seguintes integrais impráprias (ou detarminar sua Comengéncia)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo envolve integrais impróprias e técnicas de frações parciais para encontrar a antiderivada e depois avaliar o limite infinito.
Passo 2
Primeiro observamos a convergência: para
, o integrando se comporta como
, cuja integral converge. Em seguida, definimos o antiderivada via decomposição em frações parciais.
Fazendo a decomposição em frações parciais para , encontramos:
Fazendo a decomposição em frações parciais para
Passo 3
Integramos cada termo usando as regras:
Assim a antiderivada geral é
Passo 4
Agora avaliamos o valor definido:
Como
quando
, resta
.
Calculamos
Calculamos
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Resposta
\displaystyle \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\ln3