Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(x^{1 / 4}+3 x^{3 / 4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função dada. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x) seja a função integranda. A integral que temos é
\int\left(x^{1/4}+3x^{3/4}\right)\,dx.
As informações relevantes são: os expoentes das potências de x são 1/4 e 3/4, e há um fator constante 3 multiplicando o segundo termo.

Passo 2

Vamos usar propriedades básicas de integrais. Primeiro, a linearidade: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser tiradas para fora da integral. Formalmente,
\int\left(x^{1/4}+3x^{3/4}\right)\,dx=\int x^{1/4}\,dx + 3\int x^{3/4}\,dx.
Isto significa que podemos tratar cada termo separadamente.

Passo 3

A regra principal que vamos usar é a regra de potência para integrais: para todo número real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é o expoente de x na integranda, x^{n} significa a função que estamos integrando, e C é a constante arbitrária de integração. Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtém-se x^n.

Passo 4

Aplicando a regra de potência ao primeiro termo \int x^{1/4}\,dx: aqui n=\tfrac{1}{4}. Calculamos n+1=\tfrac{1}{4}+1=\tfrac{5}{4}. Pelo fórmula,
\int x^{1/4}\,dx = \frac{x^{5/4}}{5/4}+C_1.
Dividir por \tfrac{5}{4} é o mesmo que multiplicar por \tfrac{4}{5}, então
\int x^{1/4}\,dx = \frac{4}{5}x^{5/4}+C_1.

Passo 5

Agora o segundo termo 3\int x^{3/4}\,dx. Primeiro integramos \int x^{3/4}\,dx com n=\tfrac{3}{4}. Temos n+1=\tfrac{3}{4}+1=\tfrac{7}{4}, então
\int x^{3/4}\,dx = \frac{x^{7/4}}{7/4}+C_2 = \frac{4}{7}x^{7/4}+C_2.
Multiplicando pelo fator constante 3 que está fora da integral,
3\int x^{3/4}\,dx = 3\cdot\frac{4}{7}x^{7/4} = \frac{12}{7}x^{7/4}.

Passo 6

Somando os resultados dos dois termos e agrupando as constantes de integração (uma única constante C no final), obtemos a primitiva geral:
\int\left(x^{1/4}+3x^{3/4}\right)\,dx = \frac{4}{5}x^{5/4} + \frac{12}{7}x^{7/4} + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar): derivando o resultado obtido deve retornar a integranda. Calculando a derivada de \dfrac{4}{5}x^{5/4} obtém-se \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{4}x^{1/4}=x^{1/4}. Derivando \dfrac{12}{7}x^{7/4} obtém-se \dfrac{12}{7}\cdot\dfrac{7}{4}x^{3/4}=3x^{3/4}. Soma das duas derivadas dá exatamente a função original.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}x^{5/4}+\frac{12}{7}x^{7/4}+C

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