Calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida da função dada. Ou seja, encontrar uma função
tal que
seja a função integranda. A integral que temos é
As informações relevantes são: os expoentes das potências de
são
e
, e há um fator constante
multiplicando o segundo termo.
Passo 2
Vamos usar propriedades básicas de integrais. Primeiro, a linearidade: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem ser tiradas para fora da integral. Formalmente,
Isto significa que podemos tratar cada termo separadamente.
Passo 3
A regra principal que vamos usar é a regra de potência para integrais: para todo número real
,
Aqui
é o expoente de
na integranda,
significa a função que estamos integrando, e
é a constante arbitrária de integração. Essa fórmula vem do fato de que, ao derivar
, obtém-se
.
Passo 4
Aplicando a regra de potência ao primeiro termo
: aqui
. Calculamos
. Pelo fórmula,
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Passo 5
Agora o segundo termo
. Primeiro integramos
com
. Temos
, então
Multiplicando pelo fator constante
que está fora da integral,
Passo 6
Somando os resultados dos dois termos e agrupando as constantes de integração (uma única constante
no final), obtemos a primitiva geral:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas ajuda a fixar): derivando o resultado obtido deve retornar a integranda. Calculando a derivada de
obtém-se
. Derivando
obtém-se
. Soma das duas derivadas dá exatamente a função original.