Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int x^{-5 / 2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int x^{-5/2}\,dx.
Informações dadas: o integrando é x^{-5/2}, ou seja um potência de x com expoente negativo e fracionário.

Passo 2

Entendendo a função: x^{-5/2} significa que a variável x está elevada ao expoente -5/2. Isso equivale a
x^{-5/2} = \frac{1}{x^{5/2}} = \frac{1}{x^{2}\sqrt{x}},
porque 5/2 = 2 + 1/2. Essa observação ajuda a interpretar o comportamento da função (é uma função decrescente para x>0), mas para integrar vamos usar a regra do poder.

Passo 3

Regra do poder (fórmula que vamos usar): para qualquer número real n com n \neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Rápida justificativa: a derivada de x^{n+1}/(n+1) é (n+1)\,x^{n}/(n+1)=x^n.

Passo 4

Aplicando a regra com n=-5/2. Primeiro calcule n+1:
n+1 = -\tfrac{5}{2} + 1 = -\tfrac{3}{2}.
Logo
\int x^{-5/2}\,dx = \frac{x^{-3/2}}{-3/2} + C.

Passo 5

Simplificando a fração (dividir por -3/2 é multiplicar por -2/3):
\frac{x^{-3/2}}{-3/2} = -\frac{2}{3}\,x^{-3/2}.
Outra forma equivalente, trocando a potência negativa por uma fração, é
-\frac{2}{3}\,x^{-3/2} = -\frac{2}{3x^{3/2}} = -\frac{2}{3x\sqrt{x}}.

Passo 6

Verificação rápida por derivação: derivando -\dfrac{2}{3}x^{-3/2} obtém-se
-\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-5/2}=x^{-5/2},
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{3}x^{-3/2}+C

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