Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int\left(\sin ^{2} \mathrm{x} / \\cos ^{4} \mathrm{x}\right) \mathrm{dx}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x}\,dx.
O conteúdo aqui é manipular funções trigonométricas e usar substituição para integrais.

Passo 2

Vamos usar as definições \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} e \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.
Assim,
\frac{\sin^{2}x}{\cos^{4}x} = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}\,\frac{1}{\cos^{2}x} = \tan^{2}x \,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = \tan x, \quad dt = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Então a integral vira
\int \tan^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x\,dx = \int t^{2}\,dt.

Passo 4

Bast a integrar potência de t:
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3} + C = \frac{\tan^{3}x}{3} + C.

Resposta

\frac{\tan^{3}x}{3} + C.

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