Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int\left(\cot (1 / x) / x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cot\bigl(1/x\bigr)}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de substituição para reconhecer uma derivada interna.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \frac{1}{x}.
Calculamos du:
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\!du = \frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Em termos de u, a integral vira
\int \frac{\cot\bigl(1/x\bigr)}{x^{2}}\,dx = \int \cot(u)\,\bigl(-du\bigr) = -\int \cot(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \cot(u)\,du = \ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C.
Portanto
-\int \cot(u)\,du = -\ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, com u=1/x, obtemos
-\ln\bigl|\sin(u)\bigr| + C = -\ln\bigl|\sin(1/x)\bigr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|\sin(1/x)\bigr| + C

Exercícios relacionados