Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int x /\left((x-1)^{2}(x+1)^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{x}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}\,dx
O método mais direto é usar decomposição em frações parciais, já que o denominador fatorado tem potências repetidas.

Passo 2

Procuramos constantes A,B,C,D tais que
\frac{x}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{(x+1)^{2}}.
Multiplicando por (x-1)^{2}(x+1)^{2} obtemos a identidade
x = A(x-1)(x+1)^{2} + B(x+1)^{2} + C(x+1)(x-1)^{2} + D(x-1)^{2}.

Passo 3

Para determinar B e D use as raízes:
Em x=1: 1 = B\cdot4, logo B=\tfrac14.
Em x=-1: -1 = D\cdot4, logo D=-\tfrac14.

Passo 4

Para A e C expanda em potências de x e iguale coeficientes. A soma dos termos em x^{3} A+C=0, e a soma dos termos em x^{2} A-C=0. Dessa forma A=C=0.

Passo 5

Com A=C=0, B=\tfrac14, D=-\tfrac14, o integrando fica
\frac{x}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}} =\frac{1}{4}(x-1)^{-2}-\frac{1}{4}(x+1)^{-2}.
Integramos termo a termo usando
\int (x\pm1)^{-2}dx = -(x\pm1)^{-1}+C.
Logo
\int \frac{x}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{4}\bigl[-(x-1)^{-1}\bigr] -\frac{1}{4}\bigl[-(x+1)^{-1}\bigr]+C =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\Bigr)+C.

Resposta

\int \frac{x}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}\,dx =\frac{1}{4}\Bigl(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}\Bigr)+C.

Exercícios relacionados