Calcule a integral de superfície F(x, y, z)=(y, 2 x, x y z), S é formada pelas cinco faces do cubo [0,2] \times[0,2] \times[0,2] que não estão no plano x y \operatorname{com} \vec{n} exterior a S
a. Pelo teorema de Gauss
b. Pelo teorema de Stokes
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z) = (y,\;2x,\;xyz)
e a superfície S formada pelas cinco faces do cubo [0,2]\times[0,2]\times[0,2] que não incluem a face de base z=0. Em ambas as partes queremos calcular a integral de superfície de \nabla\times F em S com a normal apontando para fora do cubo, usando (a) o Teorema de Gauss e (b) o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro vamos obter o rotacional de F. Por definição,
\nabla\times F = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \partial_x&\partial_y&\partial_z\\\ y&2x&xyz \end{vmatrix} = \bigl(\partial_y(xyz)-\partial_z(2x),\;-\bigl(\partial_x(xyz)-\partial_z(y)\bigr),\;\partial_x(2x)-\partial_y(y)\bigr).
Agora calculamos o fluxo de \nabla\times F pela face de base z=0. Nessa face o vetor normal exterior ao volume aponta para baixo, ou seja n=(0,0,-1), e x,y\in[0,2]. Como \nabla\times F=(xz,-yz,1), temos
(\nabla\times F)\cdot n = (xz,-yz,1)\cdot(0,0,-1) = -1.
Substituindo em \iint_{S}(\nabla\times F)\cdot n\,dS +(-4)=0, encontramos
\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot n\,dS = 4.
Passo 6
Método (b): usar o Teorema de Stokes, que diz
\iint_{S}(\nabla\times F)\cdot n\,dS = \oint_{\partial S}F\cdot d\mathbf r.
A curva \partial S é o contorno da face z=0, ou seja o quadrado de vértices (0,0,0)\to(2,0,0)\to(2,2,0)\to(0,2,0)\to(0,0,0), orientado positivamente (no sentido anti-horário visto de cima).
Passo 7
Parametrizamos os quatro trechos em z=0 e escrevemos F(x,y,0)=(y,2x,0), d\mathbf r=(dx,dy,0). Então
F\cdot d\mathbf r = y\,dx + 2x\,dy.
De (0,0) a (2,0): y=0, dy=0 ⇒ contribui 0.
De (2,0) a (2,2): x=2, dx=0, y de 0 a 2 ⇒ \int_0^2 2\cdot2\,dy =8.
De (2,2) a (0,2): y=2, dy=0, x de 2 a 0 ⇒ \int_2^0 2\,dx = -4.
De (0,2) a (0,0): x=0, dx=0 ⇒ 0.
Somando: 0+8-4+0=4.
Resposta
O valor da integral de superfície de \nabla\times F em S é 4 em ambos os métodos.