Mostre que a equaçao dada e nomogenea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Eles são simétricos em relação à origem?
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Eles são simétricos em relação à origem?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
pede (a) mostrar que ela é homogênea, (b) resolver essa EDO e (c) desenhar o campo de direções e algumas curvas integrais e verificar se são simétricas em relação à origem.
Conteúdo: EDOs de primeira ordem homogêneas. Vamos usar a substituição .
Conteúdo: EDOs de primeira ordem homogêneas. Vamos usar a substituição
Passo 2
Para verificar a homogeneidade, observe que a função do lado direito é
Se substituirmos
, obtemos
logo
é homogênea de grau zero e a EDO é homogênea.
Passo 3
Fazemos
, logo
Substituindo em
, temos
Isto dá a EDO separável
Passo 4
Integramos:
e
Igualando e reagrupando,
Voltando a
,
onde
é constante arbitrária. Essa é a solução geral implícita.
Passo 5
No campo de direções a inclinação em
é
. Em
temos
ou seja, em pontos opostos a inclinação muda de sinal, o que garante simetria rota de
(simetria na origem) tanto no campo quanto nas curvas integrais. De fato, a solução
muda
sob
, mostrando que cada curva passa a curva de constante oposta.
Resposta
(a) A EDO é homogênea porque
.
(b) A solução geral implícita é
(b) A solução geral implícita é
com
constante.
(c) O campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem.
(c) O campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem.