Mostre que a equaçao dada e nomogenea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Eles são simétricos em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=-\frac{4x+3y}{2x+y},
pede (a) mostrar que ela é homogênea, (b) resolver essa EDO e (c) desenhar o campo de direções e algumas curvas integrais e verificar se são simétricas em relação à origem.
Conteúdo: EDOs de primeira ordem homogêneas. Vamos usar a substituição y=ux.

Passo 2

Para verificar a homogeneidade, observe que a função do lado direito é
f(x,y)=-\frac{4x+3y}{2x+y}.
Se substituirmos (x,y)\to(tx,ty), obtemos
f(tx,ty)=-\frac{4(tx)+3(ty)}{2(tx)+(ty)} =-\frac{t(4x+3y)}{t(2x+y)} =-\frac{4x+3y}{2x+y} =f(x,y),
logo f é homogênea de grau zero e a EDO é homogênea.

Passo 3

Fazemos y=ux, logo
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo em \displaystyle u + x\frac{du}{dx} =-\frac{4+3u}{2+u}, temos
x\frac{du}{dx} =-\frac{4+3u}{2+u}-u =\,-\frac{u^2+5u+4}{u+2} =-\frac{(u+1)(u+4)}{u+2}.
Isto dá a EDO separável
\frac{u+2}{(u+1)(u+4)}\,du =-\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos:
\int\frac{u+2}{(u+1)(u+4)}\,du =\int\Bigl(\frac{1/3}{u+1}+\frac{2/3}{u+4}\Bigr)du =\frac{1}{3}\ln|u+1|+\frac{2}{3}\ln|u+4|+C_1
e
\int -\frac{dx}{x}=-\ln|x|+C_2.
Igualando e reagrupando,
\ln|u+1|+2\ln|u+4|=-3\ln|x|+C \quad\Longrightarrow\quad (u+1)(u+4)^2=C\,x^{-3}.
Voltando a u=\tfrac{y}{x},
\Bigl(\frac{y}{x}+1\Bigr)\Bigl(\frac{y}{x}+4\Bigr)^{2}=C\,x^{-3} \quad\Longrightarrow\quad (y+x)(y+4x)^{2}=K,
onde K é constante arbitrária. Essa é a solução geral implícita.

Passo 5

No campo de direções a inclinação em (x,y) é \displaystyle f(x,y)=-\tfrac{4x+3y}{2x+y}. Em (-x,-y) temos
f(-x,-y) =-\frac{4(-x)+3(-y)}{2(-x)+(-y)} =-\frac{-4x-3y}{-2x-y} =-\frac{4x+3y}{2x+y} =-f(x,y),
ou seja, em pontos opostos a inclinação muda de sinal, o que garante simetria rota de 180^\circ (simetria na origem) tanto no campo quanto nas curvas integrais. De fato, a solução (y+x)(y+4x)^2=K muda K\to -K sob (x,y)\to(-x,-y), mostrando que cada curva passa a curva de constante oposta.

Resposta

(a) A EDO é homogênea porque \displaystyle f(tx,ty)=f(x,y).
(b) A solução geral implícita é
(y+x)(y+4x)^{2}=K,
com K constante.
(c) O campo de direções e as curvas integrais são simétricos em relação à origem.

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