Calcular as seguintes integrais indefinidas
\int \mathrm{dx} /(4+\cos \mathrm{x})

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral indefinida
\int \frac{\mathrm{d}x}{4 + \cos x}.
O conteúdo aqui é transformação de função trigonométrica em função racional usando a substituição de Weierstrass
t = \tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
em que
\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \quad\text{e}\quad \mathrm{d}x = \frac{2\,\mathrm{d}t}{1 + t^2}.

Passo 2

Aplicando a substituição t = \tan(x/2), o integrando vira
\frac{\mathrm{d}x}{4 + \cos x} = \frac{\frac{2\,\mathrm{d}t}{1 + t^2}}{4 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \frac{2\,\mathrm{d}t}{(1 + t^2)\Bigl(4 + \tfrac{1 - t^2}{1 + t^2}\Bigr)}.
No denominador, colocamos sobre o mesmo denominador 1+t^2:
4 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{4(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^2} = \frac{4 + 4t^2 + 1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{5 + 3t^2}{1 + t^2}.
Logo a integral fica
\int \frac{\mathrm{d}x}{4 + \cos x} = \int \frac{2\,\mathrm{d}t}{(1 + t^2)\,\frac{5 + 3t^2}{1 + t^2}} = \int \frac{2\,\mathrm{d}t}{5 + 3t^2}.

Passo 3

Agora simplificamos para
\int \frac{2\,\mathrm{d}t}{5 + 3t^2} = 2 \int \frac{\mathrm{d}t}{5 + 3t^2}.
Podemos colocar em forma canônica lembrando que
5 + 3t^2 = 5\Bigl(1 + \tfrac{3}{5}t^2\Bigr) = 5\Bigl(1 + \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}t\bigr)^2\Bigr).
Então
2 \int \frac{\mathrm{d}t}{5 + 3t^2} = \frac{2}{5} \int \frac{\mathrm{d}t}{1 + \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}t\bigr)^2}.

Passo 4

A integral
\int \frac{\mathrm{d}u}{1 + u^2}
é \arctan(u). Aqui u = \tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\,t, logo \mathrm{d}u = \tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\,\mathrm{d}t.
Portanto
\int \frac{\mathrm{d}t}{1 + \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}t\bigr)^2} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \arctan\!\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\,t\Bigr).
Multiplicando pelo fator externo,
\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{15}}.

Passo 5

Voltando a t = \tan(x/2), obtemos
\int \frac{\mathrm{d}x}{4 + \cos x} = \frac{2}{\sqrt{15}} \arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{\mathrm{d}x}{4 + \cos x} = \frac{2}{\sqrt{15}} \arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\tan\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr) + C }.

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