Calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é a soma de três termos:
, e . - Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma função cuja derivada seja
. - Ao final deve aparecer a constante de integração
.
Passo 2
Regra de linearidade das integrais (ferramenta importante). Para funções
e
e constantes
vale:
Isto permite separar a integral em parcelas menores e puxar constantes para fora da integral. Nesta integral usaremos exatamente isso para tratar cada termo isoladamente.
Passo 3
Regra da potência (a principal ferramenta para polinômios). Para um expoente
,
Explicação rápida do porquê: a derivada de
é
, então essa é uma primitiva de
. Aqui cada termo da integranda é um monômio com expoente inteiro diferente de
, então podemos aplicar essa regra.
Passo 4
Aplicando a linearidade, escrevo a integral como soma de três integrais:
Passo 5
Integro o primeiro termo aplicando a regra da potência com
:
Multiplicando pela constante
:
Aqui
pode ser absorvida na constante final única
, por isso não a mantenho separada.
Passo 6
Integro o segundo termo com
:
Multiplicando por
:
Passo 7
Integro o terceiro termo com
:
Tendo sinal negativo na soma inicial, esse termo contribui como
Passo 8
Somando todas as primitivas parciais e adicionando a constante de integração
(única, que reúne
), obtemos a primitiva completa:
Passo 9
Verificação rápida por diferenciação (confirmação): derivando termo a termo
logo a derivada da soma é
, que é exatamente a integranda. Está correto.