Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(3 x^{6}+2 x^{4}-x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(3x^{6}+2x^{4}-x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é a soma de três termos: 3x^{6}, 2x^{4} e -x.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (antiderivada) da função, ou seja, uma função cuja derivada seja 3x^{6}+2x^{4}-x.
  • Ao final deve aparecer a constante de integração C.

Passo 2

Regra de linearidade das integrais (ferramenta importante). Para funções f e g e constantes a,b vale:
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto permite separar a integral em parcelas menores e puxar constantes para fora da integral. Nesta integral usaremos exatamente isso para tratar cada termo isoladamente.

Passo 3

Regra da potência (a principal ferramenta para polinômios). Para um expoente n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação rápida do porquê: a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, então essa é uma primitiva de x^{n}. Aqui cada termo da integranda é um monômio com expoente inteiro diferente de -1, então podemos aplicar essa regra.

Passo 4

Aplicando a linearidade, escrevo a integral como soma de três integrais:
\int\left(3x^{6}+2x^{4}-x\right)\,dx = 3\int x^{6}\,dx + 2\int x^{4}\,dx - \int x\,dx.

Passo 5

Integro o primeiro termo aplicando a regra da potência com n=6:
\int x^{6}\,dx = \frac{x^{7}}{7}+C_1.
Multiplicando pela constante 3:
3\int x^{6}\,dx = 3\cdot\frac{x^{7}}{7} = \frac{3}{7}x^{7}.
Aqui C_1 pode ser absorvida na constante final única C, por isso não a mantenho separada.

Passo 6

Integro o segundo termo com n=4:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}+C_2.
Multiplicando por 2:
2\int x^{4}\,dx = 2\cdot\frac{x^{5}}{5} = \frac{2}{5}x^{5}.

Passo 7

Integro o terceiro termo com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C_3.
Tendo sinal negativo na soma inicial, esse termo contribui como
-\int x\,dx = -\frac{x^{2}}{2}.

Passo 8

Somando todas as primitivas parciais e adicionando a constante de integração C (única, que reúne C_1,C_2,C_3), obtemos a primitiva completa:
\frac{3}{7}x^{7}+\frac{2}{5}x^{5}-\frac{x^{2}}{2}+C.

Passo 9

Verificação rápida por diferenciação (confirmação): derivando termo a termo
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{7}x^{7}\right)=3x^{6},\qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{5}x^{5}\right)=2x^{4},\qquad \frac{d}{dx}\!\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)=-x,
logo a derivada da soma é 3x^{6}+2x^{4}-x, que é exatamente a integranda. Está correto.

Resposta

\frac{3}{7}x^{7}+\frac{2}{5}x^{5}-\frac{x^{2}}{2}+C

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