Calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
.
O que se quer: - Encontrar uma primitiva
tal que .
Lembrete importante: - A primitiva é determinada até uma constante arbitrária
; portanto a resposta final deve incluir .
Passo 2
Propriedades úteis (explicação didática):
- Linearidade da integral: para constantes
e funções ,
Isto significa que podemos dividir a integral em somas e fatorar constantes.
Aplicando isso ao nosso integrando:
Aplicando isso ao nosso integrando:
Passo 3
Regra do poder (aqui está a “fórmula-mágica” para monômios):
- Para
,
Por quê? Porque ao derivar
obtém-se
(cheque rápido:
).
Também usamos que para constante
.
Também usamos que
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo (mostrando cada conta):
- Primeiro termo:
(Observe que a constante
foi fatorada e cancelou com o denominador
.)
- Segundo termo:
Como no integrando vinha com sinal negativo, temos
.
- Terceiro termo:
Somando tudo e acrescentando a constante de integração
:
Passo 5
Verificação rápida (para ter confiança na resposta):
Derivando :
Derivando
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.