Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(4 x^{3}-2 x^{2}+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(4 x^{3}-2 x^{2}+5\right)\,d x.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \;4 x^{3}-2 x^{2}+5\;.
    O que se quer:
  • Encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=4 x^{3}-2 x^{2}+5.
    Lembrete importante:
  • A primitiva é determinada até uma constante arbitrária C; portanto a resposta final deve incluir +C.

Passo 2

Propriedades úteis (explicação didática):
  • Linearidade da integral: para constantes \;a,b\; e funções \;f,g\;,
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto significa que podemos dividir a integral em somas e fatorar constantes.
Aplicando isso ao nosso integrando:
\int\left(4 x^{3}-2 x^{2}+5\right)\,dx = \int 4 x^{3}\,dx - \int 2 x^{2}\,dx + \int 5\,dx.

Passo 3

Regra do poder (aqui está a “fórmula-mágica” para monômios):
  • Para \;n\neq -1\;,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Por quê? Porque ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtém-se x^{n} (cheque rápido: \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}).
Também usamos que \int c\,dx = c x + C para constante c.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo (mostrando cada conta):
  • Primeiro termo:
\int 4 x^{3}\,dx = 4\int x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}.
(Observe que a constante 4 foi fatorada e cancelou com o denominador \;4\;.)
  • Segundo termo:
\int 2 x^{2}\,dx = 2\int x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{3}.
Como no integrando vinha com sinal negativo, temos -\frac{2}{3}x^{3}.
  • Terceiro termo:
\int 5\,dx = 5x.
Somando tudo e acrescentando a constante de integração C:
F(x)=x^{4}-\frac{2}{3}x^{3}+5x+C.

Passo 5

Verificação rápida (para ter confiança na resposta):
Derivando F(x):
\frac{d}{dx}\!\left(x^{4}-\frac{2}{3}x^{3}+5x+C\right) =4x^{3}-2x^{2}+5,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

x^{4}-\frac{2}{3}x^{3}+5x+C

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