Calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
- A integranda é a soma de três termos:
, e . - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função
tal que .
Passo 2
Regra de linearidade das integrais (fórmula que vamos usar):
onde
e
são constantes e
são funções de
.
Explicação: isso significa que podemos integrar cada termo separadamente e multiplicar pelo coeficiente.
Explicação: isso significa que podemos integrar cada termo separadamente e multiplicar pelo coeficiente.
Passo 3
Regra da potência para integrais (essa é a principal ferramenta aqui):
onde
é um número real (o expoente),
é a variável e
é a constante arbitrária de integração.
Explicação: ao integrar aumentamos o expoente em
e dividimos pelo novo expoente.
Explicação: ao integrar
Passo 4
Aplicando linearidade e a regra da potência termo a termo.
- Primeiro termo
:
Detalhe: usei
na regra da potência.
- Segundo termo
:
Detalhe: aqui
.
- Terceiro termo
(constante):
Explicação: integrar uma constante
dá
, porque
.
Passo 5
Somando os resultados dos três termos e acrescentando a constante de integração
:
Passo 6
Cheque rápido (para ganhar confiança): derivando a primitiva obtida deve voltar a integranda.
que coincide com a integranda. Boa! Você pode usar esse tipo de verificação nas provas para conferir a resposta.