Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(6 x^{5}-4 x^{3}+8\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(6 x^{5}-4 x^{3}+8\right)\,dx.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • A integranda é a soma de três termos: \;6x^{5}, -4x^{3} e 8.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=6x^{5}-4x^{3}+8.

Passo 2

Regra de linearidade das integrais (fórmula que vamos usar):
\int\big(a\,f(x)+b\,g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes e f,g são funções de x.
Explicação: isso significa que podemos integrar cada termo separadamente e multiplicar pelo coeficiente.

Passo 3

Regra da potência para integrais (essa é a principal ferramenta aqui):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1,
onde n é um número real (o expoente), x é a variável e C é a constante arbitrária de integração.
Explicação: ao integrar x^{n} aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente.

Passo 4

Aplicando linearidade e a regra da potência termo a termo.
  1. Primeiro termo \;6x^{5}:
\int 6x^{5}\,dx = 6\int x^{5}\,dx = 6\cdot\frac{x^{6}}{6} = x^{6}.
Detalhe: usei n=5 na regra da potência.
  1. Segundo termo \;-4x^{3}:
\int -4x^{3}\,dx = -4\int x^{3}\,dx = -4\cdot\frac{x^{4}}{4} = -x^{4}.
Detalhe: aqui n=3.
  1. Terceiro termo \;8 (constante):
\int 8\,dx = 8x.
Explicação: integrar uma constante a a x, porque \frac{d}{dx}(ax)=a.

Passo 5

Somando os resultados dos três termos e acrescentando a constante de integração \;C:
\int\left(6 x^{5}-4 x^{3}+8\right)\,dx = x^{6}-x^{4}+8x + C.

Passo 6

Cheque rápido (para ganhar confiança): derivando a primitiva obtida deve voltar a integranda.
\frac{d}{dx}\big(x^{6}-x^{4}+8x+C\big)=6x^{5}-4x^{3}+8,
que coincide com a integranda. Boa! Você pode usar esse tipo de verificação nas provas para conferir a resposta.

Resposta

x^{6}-x^{4}+8x+C

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