Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(8 x^{7}-3 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(8 x^{7}-3 x^{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é 8x^{7}-3x^{2}.
  • Quer-se a primitiva (integral indefinida), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=8x^{7}-3x^{2}.
    O que é pedido: encontrar F(x) e acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Relembrando duas regras fundamentais que vou usar (explicação didática):
  1. Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes multiplicam a integral. Formalmente,
\int\big(a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes e f,g são funções.
  1. Regra de potência (a mais importante aqui): para qualquer expoente n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicando as partes: x é a variável de integração, n é o expoente; ao integrar, aumentamos o expoente em 1 (ficando n+1) e dividimos pelo novo expoente n+1. O +C é a constante de integração, porque primitivas são determinadas até uma constante.

Passo 3

Aplicando a linearidade para separar a integral:
\int\left(8 x^{7}-3 x^{2}\right)\,dx = 8\int x^{7}\,dx - 3\int x^{2}\,dx.
Aqui usei que 8 e -3 são constantes que podem sair da integral.

Passo 4

Aplicando a regra de potência em cada termo.
Para \int x^{7}\,dx, temos n=7, então
\int x^{7}\,dx = \frac{x^{7+1}}{7+1}+C_1 = \frac{x^{8}}{8}+C_1.
Multiplicando por 8:
8\int x^{7}\,dx = 8\cdot\frac{x^{8}}{8} + 8C_1 = x^{8} + \widetilde{C}_1.
(As constantes 8C_1 e \widetilde{C}_1 serão absorvidas na constante final.)
Para \int x^{2}\,dx, temos n=2, então
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1}+C_2 = \frac{x^{3}}{3}+C_2.
Multiplicando por -3:
-3\int x^{2}\,dx = -3\cdot\frac{x^{3}}{3} -3C_2 = -x^{3} + \widetilde{C}_2.

Passo 5

Somando os resultados e reunindo as constantes de integração (todas se combinam numa única constante C):
8\int x^{7}\,dx - 3\int x^{2}\,dx = x^{8} - x^{3} + C,
onde C é a constante de integração arbitrária.

Resposta

x^{8}-x^{3}+C

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