Calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se a primitiva (integral indefinida), isto é, uma função
tal que .
O que é pedido: encontrare acrescentar a constante de integração .
Passo 2
Relembrando duas regras fundamentais que vou usar (explicação didática):
- Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes multiplicam a integral. Formalmente,
onde
e
são constantes e
são funções.
- Regra de potência (a mais importante aqui): para qualquer expoente
,
Explicando as partes:
é a variável de integração,
é o expoente; ao integrar, aumentamos o expoente em
(ficando
) e dividimos pelo novo expoente
. O
é a constante de integração, porque primitivas são determinadas até uma constante.
Passo 3
Aplicando a linearidade para separar a integral:
Aqui usei que
e
são constantes que podem sair da integral.
Passo 4
Aplicando a regra de potência em cada termo.
Para
, temos
, então
Multiplicando por
:
(As constantes
e
serão absorvidas na constante final.)
Para
, temos
, então
Multiplicando por
:
Passo 5
Somando os resultados e reunindo as constantes de integração (todas se combinam numa única constante
):
onde
é a constante de integração arbitrária.