Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(x^{2 / 3}+x^{4 / 3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(x^{2/3}+x^{4/3}\bigr)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de duas potências de x: x^{2/3} e x^{4/3}.
  • Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Regra fundamental que vamos usar (regra da potência para integrais):
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad\text{para }n\neq -1.
Explicando por que isso funciona: a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n} = x^{n},
portanto essa primitiva é correta. Aqui n é o expoente da potência; C é uma constante arbitrária (constante de integração).

Passo 3

Aplicar a regra ao primeiro termo x^{2/3}. Aqui n=\tfrac{2}{3}, então
n+1=\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}+\frac{3}{3}=\frac{5}{3}.
Pela regra da potência:
\int x^{2/3}\,dx=\frac{x^{5/3}}{5/3}.
Dividir por \tfrac{5}{3} é o mesmo que multiplicar por \tfrac{3}{5}, logo
\int x^{2/3}\,dx=\frac{3}{5}\,x^{5/3}.

Passo 4

Aplicar a regra ao segundo termo x^{4/3}. Aqui n=\tfrac{4}{3}, então
n+1=\frac{4}{3}+1=\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{7}{3}.
Pela regra da potência:
\int x^{4/3}\,dx=\frac{x^{7/3}}{7/3}=\frac{3}{7}\,x^{7/3}.

Passo 5

Somando as primitivas dos dois termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva da soma:
\int\bigl(x^{2/3}+x^{4/3}\bigr)\,dx=\frac{3}{5}\,x^{5/3}+\frac{3}{7}\,x^{7/3}+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, mas útil): derivando o resultado para checar se volta ao integrando,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{3}{7}x^{7/3}\right) =\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x^{5/3-1}+\frac{3}{7}\cdot\frac{7}{3}x^{7/3-1} =x^{2/3}+x^{4/3},
que coincide com o integrando. Boa confirmação!

Passo 7

Força aí — essa é uma aplicação direta e muito comum da regra da potência. Na prova, identifique rapidamente o expoente n, some 1, e divida por esse novo número. Não esquece do +C!

Resposta

\dfrac{3}{5}x^{5/3}+\dfrac{3}{7}x^{7/3}+C

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