Calcular as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas importantes:
- A variável de integração é
. - O integrando é
: um coeficiente constante multiplicando uma potência de com expoente negativo . - Espera-se adicionar a constante de integração, que chamaremos de
.
Passo 2
Lembra da regra básica (regra do poder) para primitivas: para qualquer número real
,
Aqui
é o expoente da potência de
,
é a variável, e
é a constante de integração. Essa fórmula funciona porque, ao diferenciar o lado direito, aplica-se a regra de potência da derivada:
o que reverte a integral.
Passo 3
Antes de aplicar a regra, use a linearidade da integral para tirar a constante
para fora:
Explicação rápida: a integral é uma operação linear, então constantes podem ser fatoradas.
Passo 4
Agora aplique a regra do poder com
. Calcula-se
:
Portanto
Passo 5
Multiplicando pelo
que tiramos para fora:
Uma forma equivalente, com expoente negativo trocado por fração, é
Passo 6
Checagem rápida (para ter segurança): derivando a resposta obtida deve retornar o integrando. Diferenciando
:
que coincide com o integrando original. Perfeito!