Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int 7 x^{-4} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int 7 x^{-4}\, dx.
Informações dadas importantes:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é 7 x^{-4}: um coeficiente constante 7 multiplicando uma potência de x com expoente negativo -4.
  • Espera-se adicionar a constante de integração, que chamaremos de C.

Passo 2

Lembra da regra básica (regra do poder) para primitivas: para qualquer número real n\neq -1,
\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n é o expoente da potência de x, x é a variável, e C é a constante de integração. Essa fórmula funciona porque, ao diferenciar o lado direito, aplica-se a regra de potência da derivada:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n},
o que reverte a integral.

Passo 3

Antes de aplicar a regra, use a linearidade da integral para tirar a constante 7 para fora:
\int 7 x^{-4}\, dx = 7 \int x^{-4}\, dx.
Explicação rápida: a integral é uma operação linear, então constantes podem ser fatoradas.

Passo 4

Agora aplique a regra do poder com n=-4. Calcula-se n+1:
n+1 = -4+1 = -3.
Portanto
\int x^{-4}\, dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C.

Passo 5

Multiplicando pelo 7 que tiramos para fora:
7 \int x^{-4}\, dx = 7\cdot\frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{7}{3}x^{-3} + C.
Uma forma equivalente, com expoente negativo trocado por fração, é
-\frac{7}{3}\,x^{-3} + C = -\frac{7}{3x^{3}} + C.

Passo 6

Checagem rápida (para ter segurança): derivando a resposta obtida deve retornar o integrando. Diferenciando -\dfrac{7}{3}x^{-3}:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{7}{3}x^{-3}\right) = -\frac{7}{3}\cdot(-3)x^{-4} = 7 x^{-4},
que coincide com o integrando original. Perfeito!

Resposta

-\dfrac{7}{3}x^{-3} + C

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