Calcular as seguintes integrais indefinidas:
\int\left(9 x^{2}-5 x+1\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se a integral indefinida da função \,9x^{2}-5x+1.
  • A variável de integração é x.
  • Ou seja, devemos calcular
\int\left(9x^{2}-5x+1\right)\,dx.

Passo 2

Regra que vou usar primeiro: linearidade da integral. Isso diz que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em fórmula:
\int\big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aplicando ao integrando:
\int\left(9x^{2}-5x+1\right)\,dx =9\int x^{2}\,dx -5\int x\,dx + \int 1\,dx.

Passo 3

Regra principal para potências (a “regra do poder”): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n representa o expoente da potência de x. Exemplo simples para fixar a ideia:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}+C.

Passo 4

Agora aplico a regra termo a termo:
  • Para \int x^{2}\,dx com n=2:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C.
Multiplicando por 9:
9\int x^{2}\,dx = 9\cdot\frac{x^{3}}{3}=3x^{3}.
  • Para \int x\,dx (aqui n=1):
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}+C.
Multiplicando por -5:
-5\int x\,dx = -5\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{5}{2}x^{2}.
  • Para \int 1\,dx:
\int 1\,dx = x + C.

Passo 5

Juntando os resultados parciais obtemos a primitiva da função (lembrando que só precisamos de uma constante de integração ao final). Para verificar mentalmente: a derivada de 3x^{3} é 9x^{2}, a derivada de -\dfrac{5}{2}x^{2} é -5x e a derivada de x é 1; somando essas derivadas volta-se ao integrando \,9x^{2}-5x+1. A expressão final com a constante de integração é apresentada na seção de resposta.

Resposta

3x^{3}-\dfrac{5}{2}x^{2}+x+C

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