Encontrar uma função f(x) tal que \int f(x) d x=e^{-x}+\frac{1}{3} \cos 2 x+C

Passo 1

O enunciado dá uma primitiva de f:
\int f(x)\,dx = e^{-x}+\frac{1}{3}\cos 2x + C
e pede para encontrar a função f(x) cujo integral indefinido é a expressão acima.
Informações relevantes: a primitiva é a soma de duas funções explícitas mais constante e a constante C é a constante arbitrária de integração.

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática e rápida): se F(x) é uma primitiva de f(x), então F'(x)=f(x). Portanto, basta diferenciar ambos os lados em relação a x para recuperar f(x). Isto usa a propriedade básica das primitividades: diferencial da primitiva é a função original. Vou aplicar as regras usuais de diferenciação (regra da soma, fator constante e regra da cadeia) termo a termo.

Passo 3

Derivada do primeiro termo e^{-x}. Vou usar a regra da cadeia para exponenciais:
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui u(x)=-x, logo u'(x)=-1. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) = (-1)\,e^{-x} = -e^{-x}.

Passo 4

Derivada do segundo termo \dfrac{1}{3}\cos 2x. Primeiro uso a regra do fator constante e depois a regra da cadeia para o cosseno:
\frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -u'(x)\sin(u(x)).
Aqui u(x)=2x, então u'(x)=2. Aplicando,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}\cos 2x\right) = \frac{1}{3}\cdot\bigl(-2\sin 2x\bigr) = -\frac{2}{3}\sin 2x.
A constante C tem derivada zero: \dfrac{d}{dx}C=0.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos obtém-se f(x):
f(x) = -e^{-x} - \frac{2}{3}\sin 2x.
Verificação rápida integrando f: \displaystyle\int -e^{-x}\,dx = e^{-x}+C_1 e \displaystyle\int -\frac{2}{3}\sin 2x\,dx = \frac{1}{3}\cos 2x + C_2. Somando dá exatamente e^{-x}+\frac{1}{3}\cos 2x + C, confirmando que f está correta.

Resposta

\,f(x)=-e^{-x}-\dfrac{2}{3}\sin 2x\,

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