Encontrar uma função
tal que
Passo 1
O enunciado dá uma primitiva de
:
e pede para encontrar a função
cujo integral indefinido é a expressão acima.
Informações relevantes: a primitiva é a soma de duas funções explícitas mais constante e a constante é a constante arbitrária de integração.
Informações relevantes: a primitiva é a soma de duas funções explícitas mais constante e a constante
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática e rápida): se
é uma primitiva de
, então
. Portanto, basta diferenciar ambos os lados em relação a
para recuperar
. Isto usa a propriedade básica das primitividades: diferencial da primitiva é a função original. Vou aplicar as regras usuais de diferenciação (regra da soma, fator constante e regra da cadeia) termo a termo.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
. Vou usar a regra da cadeia para exponenciais:
Aqui
, logo
. Portanto
Passo 4
Derivada do segundo termo
. Primeiro uso a regra do fator constante e depois a regra da cadeia para o cosseno:
Aqui
, então
. Aplicando,
A constante
tem derivada zero:
.
Passo 5
Somando as derivadas dos termos obtém-se
:
Verificação rápida integrando
:
e
. Somando dá exatamente
, confirmando que
está correta.