Determinar as seguintes integrais imediatas:
(com
constantes)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a primitiva (integração indefinida) da função
, onde
,
e
são constantes. Logo, precisamos encontrar uma função
tal que
. Não há mais informações necessárias: é uma integral imediata de um polinômio de grau 2.
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Linearidade da integral: para quaisquer funções
e e constantes , Isso significa que podemos integrar termo a termo. - Regra do fator constante: se
é constante então Ou seja, podemos “puxar” constantes para fora da integral. - Regra da potência (power rule) para integrais: para
, Justificativa curta: derivando obtém-se , por isso é a primitiva correta.
Essas três propriedades bastam para integrar um polinômio.
Passo 3
Aplicação termo a termo usando linearidade e fator constante.
- Primeiro termo:
.
Pela regra do fator constante e da potência, temosAqui é uma constante de integração associada a esse termo. - Segundo termo:
.
Aplicando as mesmas regras, - Terceiro termo:
.
Comoé constante,
Passo 4
Agora somamos as primitivas parciais. A soma das constantes
é apenas outra constante arbitrária que chamamos de
. Portanto, existe uma primitiva geral da forma (escrita de modo compacto) que reúne os três resultados.