Determinar as seguintes integrais imediatas:
\int\left(c x^{2}+d x+f\right) d x (com c, d, f constantes)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a primitiva (integração indefinida) da função \,c x^{2}+d x+f\,, onde c, d e f são constantes. Logo, precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=c x^{2}+d x+f. Não há mais informações necessárias: é uma integral imediata de um polinômio de grau 2.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Linearidade da integral: para quaisquer funções u(x) e v(x) e constantes a,b, \int\big(a\,u(x)+b\,v(x)\big)\,dx = a\int u(x)\,dx + b\int v(x)\,dx.Isso significa que podemos integrar termo a termo.
  • Regra do fator constante: se k é constante então \int k\,u(x)\,dx = k\int u(x)\,dx.Ou seja, podemos “puxar” constantes para fora da integral.
  • Regra da potência (power rule) para integrais: para n\neq -1, \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.Justificativa curta: derivando \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtém-se x^{n}, por isso é a primitiva correta.
    Essas três propriedades bastam para integrar um polinômio.

Passo 3

Aplicação termo a termo usando linearidade e fator constante.
  • Primeiro termo: \displaystyle \int c\,x^{2}\,dx.
    Pela regra do fator constante e da potência, temos \int c\,x^{2}\,dx = c\int x^{2}\,dx = c\cdot\frac{x^{3}}{3} + C_{1}.Aqui C_{1} é uma constante de integração associada a esse termo.
  • Segundo termo: \displaystyle \int d\,x\,dx.
    Aplicando as mesmas regras, \int d\,x\,dx = d\int x\,dx = d\cdot\frac{x^{2}}{2} + C_{2}.
  • Terceiro termo: \displaystyle \int f\,dx.
    Como f é constante, \int f\,dx = f\int 1\,dx = f x + C_{3}.

Passo 4

Agora somamos as primitivas parciais. A soma das constantes C_{1}+C_{2}+C_{3} é apenas outra constante arbitrária que chamamos de C. Portanto, existe uma primitiva geral da forma (escrita de modo compacto) que reúne os três resultados.

Resposta

\displaystyle \frac{c}{3}\,x^{3}+\frac{d}{2}\,x^{2}+f\,x+C

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