Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Informações fornecidas importantes:
- O intervalo de integração é
. - A integranda é
.
A pergunta é: essa integral é convergente? Se for, é absolutamente convergente ou converge apenas condicionalmente?
Passo 2
Primeira simplificação: para
temos
. Logo a integral fica
A partir daqui vamos estudar a convergência de
.
Passo 3
Uma identidade trigonométrica útil reduz a complexidade de
. Da fórmula do triplo ângulo:
segue que
Substituindo na integranda temos
Portanto estudar
é equivalente a estudar combinações de integrais do tipo
.
Passo 4
Apresento um teste prático para isso (teste de Dirichlet para integrais impróprias):
Se é uma função cuja primitiva parcial
Se
é limitada para todo
, e
é uma função monótona que tende a
quando
, então a integral impropria
converge. Intuição rápida: a oscilação acumulada de
é controlada por
limitada e
“apaga” contribuições remanescentes.
Passo 5
Aplicando o teste de Dirichlet aqui: escolha
Mostrarei que
é limitada e que
é monótona decrescente com limite
.
Calcule a primitiva de
usando a identidade do Passo 3:
Portanto, para
,
Como
e
são limitadas entre
e
, a combinação linear acima é claramente limitada para todo
. Logo
é limitada.
A função
é monótona decrescente para
e satisfaz
Portanto todas as hipóteses do teste de Dirichlet estão satisfeitas e concluímos que
converge.
Passo 6
Agora vamos verificar se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Isto é, estudamos
Se essa integral convergir, a original seria absolutamente convergente; se divergir, então a convergência anterior é apenas condicional.
Passo 7
Prova de que a integral de valor absoluto diverge. Observe que
é periódica com período
(porque
e o valor absoluto anula o sinal). Calcule a integral em um período:
Como
em
, podemos calcular diretamente:
Logo cada intervalo
tem
Para
temos
, então
. Assim
Somando para
obtemos
e a série harmônica
diverge, portanto a integral imprópria do valor absoluto diverge. Conclusão: não há convergência absoluta.
Passo 8
Combinando os resultados:
- A integral
converge pelo teste de Dirichlet. - A integral de valor absoluto
diverge, logo a convergência não é absoluta.
Força aí — a conclusão é boa: a integral converge, mas só condicionalmente.
Resposta
A integral converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).