Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
\int_{1}^{+\infty} \frac{\operatorname{sen}^{3} x}{\sqrt{x^{2}}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{\sqrt{x^{2}}}\,dx
é convergente ou divergente. Informações fornecidas importantes:
  • O intervalo de integração é [1,+\infty).
  • A integranda é \dfrac{\operatorname{sen}^{3}x}{\sqrt{x^{2}}}.
    A pergunta é: essa integral é convergente? Se for, é absolutamente convergente ou converge apenas condicionalmente?

Passo 2

Primeira simplificação: para x\ge 1 temos \sqrt{x^{2}}=x. Logo a integral fica
\int_{1}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{\sqrt{x^{2}}}\,dx=\int_{1}^{+\infty}\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{x}\,dx.
A partir daqui vamos estudar a convergência de \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{x}\,dx.

Passo 3

Uma identidade trigonométrica útil reduz a complexidade de \operatorname{sen}^{3}x. Da fórmula do triplo ângulo:
\operatorname{sen}3x = 3\operatorname{sen}x - 4\operatorname{sen}^{3}x,
segue que
\operatorname{sen}^{3}x=\frac{3\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}3x}{4}.
Substituindo na integranda temos
\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{x}=\frac{1}{4}\cdot\frac{3\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}3x}{x} =\frac{3}{4}\cdot\frac{\operatorname{sen}x}{x}-\frac{1}{4}\cdot\frac{\operatorname{sen}3x}{x}.
Portanto estudar \int_{1}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}^{3}x}{x}\,dx é equivalente a estudar combinações de integrais do tipo \int \dfrac{\operatorname{sen}(kx)}{x}\,dx.

Passo 4

Apresento um teste prático para isso (teste de Dirichlet para integrais impróprias):
Se f é uma função cuja primitiva parcial
F(X)=\int_{a}^{X} f(t)\,dt
é limitada para todo X\ge a, e g é uma função monótona que tende a 0 quando x\to\infty, então a integral impropria
\int_{a}^{\infty} f(x)g(x)\,dx
converge. Intuição rápida: a oscilação acumulada de f é controlada por F limitada e g(x)\to 0 “apaga” contribuições remanescentes.

Passo 5

Aplicando o teste de Dirichlet aqui: escolha
f(x)=\operatorname{sen}^{3}x,\qquad g(x)=\frac{1}{x}.
Mostrarei que F(X)=\int_{1}^{X}\operatorname{sen}^{3}t\,dt é limitada e que g é monótona decrescente com limite 0.
Calcule a primitiva de \operatorname{sen}^{3}t usando a identidade do Passo 3:
\int \operatorname{sen}^{3}t\,dt=\int\frac{3\operatorname{sen}t-\operatorname{sen}3t}{4}\,dt =\frac{1}{4}\Big(-3\cos t+\frac{\cos 3t}{3}\Big)+C.
Portanto, para X\ge 1,
F(X)=\int_{1}^{X}\operatorname{sen}^{3}t\,dt =\frac{1}{4}\Big(-3\cos X+\frac{\cos 3X}{3}\Big)-\frac{1}{4}\Big(-3\cos 1+\frac{\cos 3}{3}\Big).
Como \cos X e \cos 3X são limitadas entre -1 e 1, a combinação linear acima é claramente limitada para todo X. Logo F(X) é limitada.
A função g(x)=1/x é monótona decrescente para x\ge 1 e satisfaz
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto todas as hipóteses do teste de Dirichlet estão satisfeitas e concluímos que
\int_{1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}^{3}x}{x}\,dx
converge.

Passo 6

Agora vamos verificar se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Isto é, estudamos
\int_{1}^{\infty}\frac{|\operatorname{sen}^{3}x|}{x}\,dx.
Se essa integral convergir, a original seria absolutamente convergente; se divergir, então a convergência anterior é apenas condicional.

Passo 7

Prova de que a integral de valor absoluto diverge. Observe que |\operatorname{sen}^{3}x| é periódica com período \pi (porque \operatorname{sen}(x+\pi)=-\operatorname{sen}x e o valor absoluto anula o sinal). Calcule a integral em um período:
\int_{0}^{\pi}|\operatorname{sen}^{3}x|\,dx=\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}x\,dx.
Como \operatorname{sen}x\ge 0 em [0,\pi], podemos calcular diretamente:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^{3}x\,dx =\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x(1-\cos^{2}x)\,dx =\Big[-\cos x\Big]_{0}^{\pi}-\Big[-\frac{\cos^{3}x}{3}\Big]_{0}^{\pi} =2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Logo cada intervalo [n\pi,(n+1)\pi] tem
\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\operatorname{sen}^{3}x|\,dx=\frac{4}{3}.
Para x\in[n\pi,(n+1)\pi] temos x\le (n+1)\pi, então 1/x\ge 1/((n+1)\pi). Assim
\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\operatorname{sen}^{3}x|}{x}\,dx \ge \frac{1}{(n+1)\pi}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}|\operatorname{sen}^{3}x|\,dx =\frac{1}{(n+1)\pi}\cdot\frac{4}{3}.
Somando para n=1,2,3,\dots obtemos
\int_{1}^{\infty}\frac{|\operatorname{sen}^{3}x|}{x}\,dx \ge \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{3 (n+1)\pi},
e a série harmônica \sum (n+1)^{-1} diverge, portanto a integral imprópria do valor absoluto diverge. Conclusão: não há convergência absoluta.

Passo 8

Combinando os resultados:
  • A integral \displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{\operatorname{sen}^{3}x}{x}\,dx converge pelo teste de Dirichlet.
  • A integral de valor absoluto \displaystyle\int_{1}^{\infty}\dfrac{|\operatorname{sen}^{3}x|}{x}\,dx diverge, logo a convergência não é absoluta.
Força aí — a conclusão é boa: a integral converge, mas só condicionalmente.

Resposta

A integral converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).

Exercícios relacionados