Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{2 x^{3}+x^{2}-5 x-8}{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2 x-2} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2 x^{3}+x^{2}-5 x-8}{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2 x-2}\,dx.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Numerador: }2x^{3}+x^{2}-5x-8.
\text{Denominador: }x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x-2.
A integral é de uma função racional (fração de polinômios). O grau do numerador é \,3, e o grau do denominador é \,4. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para integrar uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador, o caminho padrão é decompor a fração em frações parciais após fatorar o denominador. Vou fatorar o polinômio do denominador e depois aplicar a decomposição em frações simples. Primeiro, fatoramos
x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x-2.
Procuramos um fatoramento do tipo
(x^{2}+a x+b)(x^{2}+c x+d).
Multiplicando essas duas quadráticas obtemos os coeficientes
\begin{cases} a+c=2,\\[4pt] ac+b+d=1,\\[4pt] ad+bc=-2,\\[4pt] bd=-2. \end{cases}
Como bd=-2, tentamos combinações inteiras para b e d. Testando b=-1 e d=2 (uma escolha natural porque -1\cdot 2=-2), as equações ficam
ac+(-1)+2=ac+1=1\Rightarrow ac=0,
então um dos coeficientes a ou c vale 0 e o outro vale 2 por a+c=2. Tomando a=0 e c=2, verificamos ad+bc=0\cdot 2+(-1)\cdot 2=-2, que bate com a equação. Logo o fatoramento é
x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x-2=(x^{2}-1)(x^{2}+2x+2).
Observação: x^{2}-1 pode ainda ser escrito como (x-1)(x+1), mas vamos usar a forma fatorada completa para a decomposição.]

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Como x^{2}-1\) se separa em fatores lineares \((x-1)(x+1)\) e \(x^{2}+2x+2\) é uma quadrática irreduzível (pois \(\Delta=4-8<0\)), a forma geral é \[\frac{2x^{3}+x^{2}-5x-8}{(x-1)(x+1)(x^{2}+2x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2x+2}.
Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1)(x^{2}+2x+2) para obter a identidade de polinômios
2x^{3}+x^{2}-5x-8 = A(x+1)(x^{2}+2x+2) + B(x-1)(x^{2}+2x+2) + (Cx+D)(x^{2}-1).
Expandimos as partes (com calma):
(x+1)(x^{2}+2x+2)=x^{3}+3x^{2}+4x+2,
(x-1)(x^{2}+2x+2)=x^{3}+x^{2}-2,
(Cx+D)(x^{2}-1)=Cx^{3}+Dx^{2}-Cx-D.
Somando com os coeficientes A,B temos o polinômio
(A+B+C)x^{3}+(3A+B+D)x^{2}+(4A-C)x+(2A-2B-D).
Compare com o numerador 2x^{3}+1x^{2}-5x-8 e iguale coeficientes:
\begin{cases} A+B+C=2,\\[4pt] 3A+B+D=1,\\[4pt] 4A-C=-5,\\[4pt] 2A-2B-D=-8. \end{cases}
Resolvendo o sistema passo a passo:
a partir de 4A-C=-5\] temos \[C=4A+5.\] Substituindo em \(A+B+C=2:
A+B+4A+5=2\Rightarrow 5A+B=-3\Rightarrow B=-3-5A.
Agora de 3A+B+D=1 temos
D=1-3A-B.
Substituímos B e D na quarta equação 2A-2B-D=-8:
2A-2(-3-5A)-(1-3A-(-3-5A))=-8.
Calculando com calma:
2A+6+10A -1+3A+3+5A = -8.
Agrupando termos:
(2A+10A+3A+5A) + (6-1+3) = -8,
20A +8 = -8 \Rightarrow 20A=-16 \Rightarrow A=-\tfrac{16}{20}=-\tfrac{4}{5}.
Ops — percebi que deu fração; isso indica que cometi um erro de soma durante a substituição. Vou refazer a substituição de forma mais direta e organizada:
Use as expressões já obtidas: B=-3-5A e D=1-3A-B. Substitua em 2A-2B-D=-8:
2A -2(-3-5A) - (1-3A-(-3-5A)) = -8.
Calcule termo a termo:
2A +6 +10A - (1-3A+3+5A) = -8,
12A +6 - (4 +2A) = -8,
12A +6 -4 -2A = -8,
10A +2 = -8,
10A = -10 \Rightarrow A = -1.
Agora sim: A=-1. Então
B=-3-5A=-3-5(-1)=-3+5=2,
C=4A+5=4(-1)+5=1,
D=1-3A-B=1-3(-1)-2=1+3-2=2.
Portanto a decomposição é
\frac{2x^{3}+x^{2}-5x-8}{(x-1)(x+1)(x^{2}+2x+2)} = -\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}+\frac{x+2}{x^{2}+2x+2}.]

Passo 4

Integramos termo a termo. Escrevendo a integral original como soma:
\int \frac{2 x^{3}+x^{2}-5 x-8}{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2 x-2}\,dx = \int\left(-\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}+\frac{x+2}{x^{2}+2x+2}\right)\,dx.
As duas primeiras integrais são logaritmos:
\int -\frac{1}{x-1}\,dx = -\ln|x-1|,
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Falta integrar \displaystyle \int \frac{x+2}{x^{2}+2x+2}\,dx. Aqui usamos completar quadrado no denominador:
x^{2}+2x+2=(x+1)^{2}+1.
Fazemos a substituição u=x+1 (então du=dx). Observe que x+2=(x+1)+1=u+1. Assim
\int \frac{x+2}{x^{2}+2x+2}\,dx = \int \frac{u+1}{u^{2}+1}\,du = \int \frac{u}{u^{2}+1}\,du + \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du.
Explicando as duas integrais:
  • Para \displaystyle \int \frac{u}{u^{2}+1}\,du, usamos a substituição v=u^{2}+1, então dv=2u\,du, daí \int \frac{u}{u^{2}+1}\,du = \tfrac{1}{2}\ln(u^{2}+1).
  • Para \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du, sabemos que a primitiva é \arctan(u).
Portanto
\int \frac{x+2}{x^{2}+2x+2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\big((x+1)^{2}+1\big) + \arctan(x+1).

Passo 5

Somando todas as peças obtemos a antiderivada geral:
\int \frac{2 x^{3}+x^{2}-5 x-8}{x^{4}+2 x^{3}+x^{2}-2 x-2}\,dx = -\ln|x-1| + 2\ln|x+1| + \frac{1}{2}\ln\big((x+1)^{2}+1\big) + \arctan(x+1) + C,
onde C é a constante de integração. Podemos deixar assim ou combinar termos logarítmicos se desejar, mas essa forma é clara e adequada.

Resposta

-\ln|x-1| + 2\ln|x+1| + \tfrac{1}{2}\ln\big((x+1)^{2}+1\big) + \arctan(x+1) + C

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