Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Numerador: }2x^{3}+x^{2}-5x-8.
\text{Denominador: }x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x-2.
A integral é de uma função racional (fração de polinômios). O grau do numerador é \,3, e o grau do denominador é \,4. Não há mais dados no enunciado.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para integrar uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador, o caminho padrão é decompor a fração em frações parciais após fatorar o denominador. Vou fatorar o polinômio do denominador e depois aplicar a decomposição em frações simples. Primeiro, fatoramos
x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x-2.
Procuramos um fatoramento do tipo
(x^{2}+a x+b)(x^{2}+c x+d).
Multiplicando essas duas quadráticas obtemos os coeficientes
Como bd=-2, tentamos combinações inteiras para b e d. Testando b=-1 e d=2 (uma escolha natural porque -1\cdot 2=-2), as equações ficam
ac+(-1)+2=ac+1=1\Rightarrow ac=0,
então um dos coeficientes a ou c vale 0 e o outro vale 2 por a+c=2. Tomando a=0 e c=2, verificamos ad+bc=0\cdot 2+(-1)\cdot 2=-2, que bate com a equação. Logo o fatoramento é
x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x-2=(x^{2}-1)(x^{2}+2x+2).
Observação: x^{2}-1 pode ainda ser escrito como (x-1)(x+1), mas vamos usar a forma fatorada completa para a decomposição.]
Passo 3
Agora fazemos a decomposição em frações parciais. Como x^{2}-1\) se separa em fatores lineares \((x-1)(x+1)\) e \(x^{2}+2x+2\) é uma quadrática irreduzível (pois \(\Delta=4-8<0\)), a forma geral é
\[\frac{2x^{3}+x^{2}-5x-8}{(x-1)(x+1)(x^{2}+2x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+2x+2}.
Multiplicamos ambos os lados por (x-1)(x+1)(x^{2}+2x+2) para obter a identidade de polinômios
Ops — percebi que deu fração; isso indica que cometi um erro de soma durante a substituição. Vou refazer a substituição de forma mais direta e organizada:
Use as expressões já obtidas: B=-3-5A e D=1-3A-B. Substitua em 2A-2B-D=-8:
Para \displaystyle \int \frac{u}{u^{2}+1}\,du, usamos a substituição v=u^{2}+1, então dv=2u\,du, daí \int \frac{u}{u^{2}+1}\,du = \tfrac{1}{2}\ln(u^{2}+1).
Para \displaystyle \int \frac{1}{u^{2}+1}\,du, sabemos que a primitiva é \arctan(u).