Calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Dados importantes fornecidos:
é o numerador e o denominador é o produto dos fatores lineares
.
A integral é indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração .
Não vamos resolver nada ainda; apenas registrei o que é pedido e os dados que temos.
A integral é indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração
Não vamos resolver nada ainda; apenas registrei o que é pedido e os dados que temos.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): como o integrando é uma função racional cuja parte fracionária tem grau do numerador menor que o grau do denominador (grau
no numerador e grau
no denominador), podemos decompor a fração em frações simples. Para fatores lineares distintos
,
,
a forma da decomposição é
onde
,
e
são constantes a determinar. Vou explicar por que essa forma funciona: multiplicando ambos os lados pelo denominador comum obtemos uma identidade polinomial em
; igualando coeficientes ou avaliando em valores de
convenientes conseguimos achar
.
Passo 3
Multiplico a identidade acima por
para obter uma igualdade de polinômios:
Esta igualdade vale para todo
. Agora uso valores de
que anulam termos para encontrar
,
,
facilmente.
Passo 4
Avalio a identidade em
(isso anula os termos multiplicados por
), então:
Calculo o lado esquerdo:
.
Calculo o fator à direita: . Logo
, portanto
Calculo o fator à direita:
Passo 5
Avalio a identidade em
(anula os termos com
):
Calculo o lado esquerdo:
.
Calculo o fator à direita: . Logo
, portanto
Calculo o fator à direita:
Passo 6
Avalio a identidade em
(anula os termos com
):
Calculo o lado esquerdo:
.
Calculo o fator à direita: . Logo
, portanto
Calculo o fator à direita:
Passo 7
Agora já tenho os coeficientes. A decomposição em frações simples é
Escrevendo de forma mais clara:
Passo 8
Integro termo a termo. Lembrete (mini-aula): a primitiva de
é
, porque a derivada de
é
. Usando isso,
Somando (e juntando as constantes
numa única
) obtemos a primitiva da soma.
Passo 9
Portanto a integral original é
onde
é a constante de integração. Se preferir, pode-se combinar os logaritmos, mas a forma acima é a mais direta para a hora da prova.