Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)}\,dx.
Dados importantes fornecidos:
\;4 x^{2}-9 x-1 é o numerador e o denominador é o produto dos fatores lineares (x+1)(x-1)(x-3).
A integral é indefinida, então o resultado deve conter uma constante de integração C.
Não vamos resolver nada ainda; apenas registrei o que é pedido e os dados que temos.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): como o integrando é uma função racional cuja parte fracionária tem grau do numerador menor que o grau do denominador (grau 2 no numerador e grau 3 no denominador), podemos decompor a fração em frações simples. Para fatores lineares distintos (x+1), (x-1), (x-3) a forma da decomposição é
\frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-3},
onde A, B e C são constantes a determinar. Vou explicar por que essa forma funciona: multiplicando ambos os lados pelo denominador comum obtemos uma identidade polinomial em x; igualando coeficientes ou avaliando em valores de x convenientes conseguimos achar A,B,C.

Passo 3

Multiplico a identidade acima por (x+1)(x-1)(x-3) para obter uma igualdade de polinômios:
4 x^{2}-9 x-1 = A(x-1)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x-1).
Esta igualdade vale para todo x. Agora uso valores de x que anulam termos para encontrar A, B, C facilmente.

Passo 4

Avalio a identidade em x=-1 (isso anula os termos multiplicados por x+1), então:
4(-1)^{2}-9(-1)-1 = A(-1-1)(-1-3).
Calculo o lado esquerdo: 4\cdot1 +9 -1 = 12.
Calculo o fator à direita: (-2)(-4)=8. Logo 8A=12, portanto
A=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Avalio a identidade em x=1 (anula os termos com x-1):
4(1)^{2}-9(1)-1 = B(1+1)(1-3).
Calculo o lado esquerdo: 4-9-1=-6.
Calculo o fator à direita: (2)(-2)=-4. Logo -4B=-6, portanto
B=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.

Passo 6

Avalio a identidade em x=3 (anula os termos com x-3):
4(3)^{2}-9(3)-1 = C(3+1)(3-1).
Calculo o lado esquerdo: 4\cdot9 -27 -1 =36-27-1=8.
Calculo o fator à direita: (4)(2)=8. Logo 8C=8, portanto
C=1.

Passo 7

Agora já tenho os coeficientes. A decomposição em frações simples é
\frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)} = \frac{3/2}{x+1} + \frac{3/2}{x-1} + \frac{1}{x-3}.
Escrevendo de forma mais clara:
\frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x+1} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-3}.

Passo 8

Integro termo a termo. Lembrete (mini-aula): a primitiva de \dfrac{1}{x+a} é \ln|x+a|, porque a derivada de \ln|x+a| é \dfrac{1}{x+a}. Usando isso,
\int \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x+1| + C_1,
\int \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x-1| + C_2,
\int \frac{1}{x-3}\,dx = \ln|x-3| + C_3.
Somando (e juntando as constantes C_1,C_2,C_3 numa única C) obtemos a primitiva da soma.

Passo 9

Portanto a integral original é
\int \frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x+1| + \frac{3}{2}\ln|x-1| + \ln|x-3| + C,
onde C é a constante de integração. Se preferir, pode-se combinar os logaritmos, mas a forma acima é a mais direta para a hora da prova.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\ln|x+1|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+\ln|x-3|+C

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