Determine quais das integrais impróprias a seguir são convergentes.
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{x}}{e^{2 x}-e^{-2 x}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{x}}{e^{2x}-e^{-2x}}\,dx
é convergente. Informações dadas e observações iniciais:
  • O intervalo de integração é (-\infty,+\infty), logo há duas fontes de impropriedade: os limites infinities x\to\pm\infty.
  • Além disso, o integrando pode ter pontos onde o denominador é zero. Vamos identificar esses pontos: resolver e^{2x}-e^{-2x}=0 e^{4x}=1, o que, para x real, ocorre em x=0. Portanto há uma singularidade interior em x=0.
  • Assim a integral deve ser tratada como soma de integrais impróprias em intervalos sem a singularidade:
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{x}}{e^{2x}-e^{-2x}}\,dx = \int_{-\infty}^{0}\frac{e^{x}}{e^{2x}-e^{-2x}}\,dx + \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{x}}{e^{2x}-e^{-2x}}\,dx,
cada uma entendida como limite apropriado à esquerda ou à direita.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando para manipular melhor. Dividindo numerador e denominador por e^{-2x} obtemos
\frac{e^{x}}{e^{2x}-e^{-2x}} = \frac{e^{x}\cdot e^{2x}}{(e^{2x}-e^{-2x})\cdot e^{2x}} = \frac{e^{3x}}{e^{4x}-1}.
Então podemos trabalhar com a forma mais simples
f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{4x}-1}.

Passo 3

Agora vamos estudar o comportamento de f(x) nas três regiões relevantes: x\to+\infty, x\to-\infty e x\to0 (singularidade interior).

Passo 4

Comportamento para x\to+\infty.
Quando x\to+\infty temos e^{4x}\gg1, então
f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{4x}-1}\sim\frac{e^{3x}}{e^{4x}}=e^{-x}.
Isto quer dizer que para x grande f(x) decai como e^{-x}. A integral da cauda positiva é comparável a uma integral exponencial convergente: por exemplo, existe M>0 tal que para x\ge M,
0< f(x)\le C e^{-x}
para alguma constante C, e
\int_{M}^{\infty} e^{-x}\,dx <\infty.
Portanto a integral imprópria \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx não diverge por causa do infinito positivo (ou seja, a parte infinita à direita é convergente desde que a singularidade em 0 seja tratada).

Passo 5

Comportamento para x\to-\infty.
Quando x\to-\infty temos e^{4x}\to0, logo e^{4x}-1\to-1 e
f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{4x}-1}\sim -e^{3x}.
Assim f(x) decai exponencialmente (para valores negativos muito grandes é da ordem de -e^{3x}), e a integral na cauda esquerda converge:
há constante C' e N<0 tais que para x\le N,
|f(x)|\le C' e^{3x}
e
\int_{-\infty}^{N} e^{3x}\,dx <\infty.
Portanto a divergência, se houver, virá da singularidade interior x=0, e não dos limites infinitos.

Passo 6

Análise da singularidade em x=0.
Precisamos estudar o comportamento de f(x) quando x\to0. Usamos expansão em série (ou limite equivalente). Para x pequeno,
e^{4x}-1 = 4x + o(x) \qquad\text{e}\qquad e^{3x}=1+o(1).
Logo
f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{4x}-1} \sim \frac{1}{4x}\quad\text{quando }x\to0.
Uma forma rigorosa é calcular o limite
\lim_{x\to0} x\cdot f(x) = \lim_{x\to0} x\frac{e^{3x}}{e^{4x}-1} = \frac{1}{4},
pois \lim_{x\to0}\frac{e^{4x}-1}{x}=4 e e^{3x}\to1. Isso mostra que f(x) tem singularidade do tipo 1/x em 0.
Agora, para a convergência da integral imprópria no ponto interior temos que verificar as duas integrais unilaterais:
\int_{0}^{\varepsilon} f(x)\,dx \quad\text{e}\quad \int_{-\varepsilon}^{0} f(x)\,dx.
Como f(x)\sim \dfrac{1}{4x} para x\to0^+, a integral à direita comporta-se como
\int_{0}^{\varepsilon}\frac{1}{4x}\,dx = \left.\frac{1}{4}\ln x\right|_{0}^{\varepsilon},
que diverge para +\infty quando o limite inferior tende a 0. Portanto \int_{0}^{\varepsilon} f(x)\,dx diverge.
Analogamente, para x\to0^- temos f(x)\sim \dfrac{1}{4x} também (com sinal adequado: para x<0 pequeno 1/(4x) é negativo), e a integral à esquerda diverge em módulo (vai para -\infty). Em termos de definição de integral impropria (não de valor principal), para a integral sobre (-\infty,\infty) exigimos que ambas as integrais unilaterais existam finitamente; aqui nenhuma delas existe finitamente devido ao comportamento 1/x em zero.
Portanto a singularidade em x=0 torna a integral imprópria divergente.

Passo 7

Conclusão final: embora as caudas em x\to\pm\infty sejam integráveis, a singularidade interior em x=0 é não integrável (comportamento como 1/(4x)), o que faz a integral imprópria divergir.

Resposta

A integral é divergente.

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