é convergente. Informações dadas e observações iniciais:
O intervalo de integração é (-\infty,+\infty), logo há duas fontes de impropriedade: os limites infinities x\to\pm\infty.
Além disso, o integrando pode ter pontos onde o denominador é zero. Vamos identificar esses pontos: resolver e^{2x}-e^{-2x}=0 dá e^{4x}=1, o que, para x real, ocorre em x=0. Portanto há uma singularidade interior em x=0.
Assim a integral deve ser tratada como soma de integrais impróprias em intervalos sem a singularidade:
Isto quer dizer que para x grande f(x) decai como e^{-x}. A integral da cauda positiva é comparável a uma integral exponencial convergente: por exemplo, existe M>0 tal que para x\ge M,
0< f(x)\le C e^{-x}
para alguma constante C, e
\int_{M}^{\infty} e^{-x}\,dx <\infty.
Portanto a integral imprópria \int_{0}^{\infty} f(x)\,dx não diverge por causa do infinito positivo (ou seja, a parte infinita à direita é convergente desde que a singularidade em 0 seja tratada).
Passo 5
Comportamento para x\to-\infty.
Quando x\to-\infty temos e^{4x}\to0, logo e^{4x}-1\to-1 e
f(x)=\frac{e^{3x}}{e^{4x}-1}\sim -e^{3x}.
Assim f(x) decai exponencialmente (para valores negativos muito grandes é da ordem de -e^{3x}), e a integral na cauda esquerda converge:
há constante C' e N<0 tais que para x\le N,
|f(x)|\le C' e^{3x}
e
\int_{-\infty}^{N} e^{3x}\,dx <\infty.
Portanto a divergência, se houver, virá da singularidade interior x=0, e não dos limites infinitos.
Passo 6
Análise da singularidade em x=0.
Precisamos estudar o comportamento de f(x) quando x\to0. Usamos expansão em série (ou limite equivalente). Para x pequeno,
que diverge para +\infty quando o limite inferior tende a 0. Portanto \int_{0}^{\varepsilon} f(x)\,dx diverge.
Analogamente, para x\to0^- temos f(x)\sim \dfrac{1}{4x} também (com sinal adequado: para x<0 pequeno 1/(4x) é negativo), e a integral à esquerda diverge em módulo (vai para -\infty). Em termos de definição de integral impropria (não de valor principal), para a integral sobre (-\infty,\infty) exigimos que ambas as integrais unilaterais existam finitamente; aqui nenhuma delas existe finitamente devido ao comportamento 1/x em zero.
Portanto a singularidade em x=0 torna a integral imprópria divergente.
Passo 7
Conclusão final: embora as caudas em x\to\pm\infty sejam integráveis, a singularidade interior em x=0 é não integrável (comportamento como 1/(4x)), o que faz a integral imprópria divergir.