Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado dá a integral tripla
Informações fornecidas:
- O integrando é
. - As projeções em
são e , ou seja, a região no plano é o disco de raio centrado na origem: . - Para cada ponto
desse disco, varia de até .
O que se pede: - Calcular o valor numérico dessa integral tripla.
Passo 2
Por que e como mudar de coordenadas: a região no plano
é um disco (simetria radial) e o limite inferior de
depende de
. Esses fatos tornam coordenadas polares uma escolha natural. Em coordenadas polares usamos
onde
é a distância à origem e
é o ângulo. O elemento de área
vira
(esse
é o jacobiano da transformação). Os limites ficam:
-
varia de a (pois o disco tem raio ); -
varia de a ; - o limite inferior de
é , e o superior é .
Substituindo na integral temos (mostrando cada passo da substituição)
e
Portanto a integral passa a ser
Passo 3
Simplificar o integrando e integrar em
: multiplicando
por
dá
. A integração em
é direta porque o integrando não depende de
:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 4
Separar variáveis (produto de funções de
e de
): o integrando agora é produto de uma função que depende só de
,
, e de uma função que depende só de
,
. Assim a integral dupla se separa:
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Calcular a integral angular. Usar a identidade trigonométrica
Logo
A primeira integral é
. A segunda integral é zero porque
tem período
e integra zero em um múltiplo inteiro de seu período:
Portanto
Passo 6
Calcular a integral radial:
Calcular as primitivas (explicando como): para
com
, uma antiderivada é
. Assim
Subtraindo:
Passo 7
Combinar os resultados: multiplicando a integral angular pelo resultado radial obtém-se
Esse é o valor da integral tripla pedida.