Calcular as seguintes integrais:
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}^{1} x^{2} d z d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral tripla
\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}^{1} x^{2}\,dz\,dy\,dx.
Informações fornecidas:
  • O integrando é x^{2}.
  • As projeções em x,y são x\in[-1,1] e y\in\big[-\sqrt{1-x^{2}},\sqrt{1-x^{2}}\big], ou seja, a região no plano xy é o disco de raio 1 centrado na origem: \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le 1\}.
  • Para cada ponto (x,y) desse disco, z varia de z=(x^{2}+y^{2})^{2} até z=1.
    O que se pede:
  • Calcular o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Por que e como mudar de coordenadas: a região no plano xy é um disco (simetria radial) e o limite inferior de z depende de x^{2}+y^{2}. Esses fatos tornam coordenadas polares uma escolha natural. Em coordenadas polares usamos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo. O elemento de área dx\,dy vira r\,dr\,d\theta (esse r é o jacobiano da transformação). Os limites ficam:
  • r varia de 0 a 1 (pois o disco tem raio 1);
  • \theta varia de 0 a 2\pi;
  • o limite inferior de z é (x^{2}+y^{2})^{2}=(r^{2})^{2}=r^{4}, e o superior é 1.
    Substituindo na integral temos (mostrando cada passo da substituição)
x^{2} = (r\cos\theta)^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta,
e
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Portanto a integral passa a ser
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{4}}^{1} r^{2}\cos^{2}\theta\; dz\; r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Simplificar o integrando e integrar em z: multiplicando r^{2}\cos^{2}\theta por r r^{3}\cos^{2}\theta. A integração em z é direta porque o integrando não depende de z:
\int_{r^{4}}^{1} r^{3}\cos^{2}\theta\; dz = r^{3}\cos^{2}\theta\cdot\big(1 - r^{4}\big).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\big(1-r^{4}\big)\cos^{2}\theta\; dr\; d\theta.

Passo 4

Separar variáveis (produto de funções de r e de \theta): o integrando agora é produto de uma função que depende só de r, r^{3}(1-r^{4}), e de uma função que depende só de \theta, \cos^{2}\theta. Assim a integral dupla se separa:
\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\; d\theta\right)\cdot\left(\int_{0}^{1} r^{3}\big(1-r^{4}\big)\; dr\right).
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Calcular a integral angular. Usar a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Logo
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\; d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\; d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\; d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\; d\theta.
A primeira integral é \frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi. A segunda integral é zero porque \cos(2\theta) tem período \pi e integra zero em um múltiplo inteiro de seu período:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\; d\theta = 0.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\; d\theta = \pi.

Passo 6

Calcular a integral radial:
\int_{0}^{1} r^{3}\big(1-r^{4}\big)\; dr = \int_{0}^{1} r^{3}\; dr - \int_{0}^{1} r^{7}\; dr.
Calcular as primitivas (explicando como): para r^{n} com n\neq -1, uma antiderivada é r^{n+1}/(n+1). Assim
\int_{0}^{1} r^{3}\; dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4},
\int_{0}^{1} r^{7}\; dr = \left[\frac{r^{8}}{8}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{8}.
Subtraindo:
\int_{0}^{1} r^{3}\big(1-r^{4}\big)\; dr = \frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.

Passo 7

Combinar os resultados: multiplicando a integral angular pelo resultado radial obtém-se
\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{\pi}{8}.
Esse é o valor da integral tripla pedida.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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