Raciocínio para montar a integral: o volume entre superfícies z=f(x,y) e z=g(x,y) sobre uma região D no plano é
V=\iint_{D}\bigl(f(x,y)-g(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui f(x,y)=x^{4} e g(x,y)=0, portanto
V=\iint_{D}x^{4}\,dA.
Agora precisamos calcular essa integral sobre a elipse x^{2}+2y^{2}\le 2. Uma forma eficiente é transformar a elipse em um disco usando uma mudança linear seguida de coordenadas polares.
Passo 3
Vamos simplificar a região por uma transformação linear que “circulariza” a elipse. Defina
u=x,\qquad v=\sqrt{2}\,y.
Com essa mudança a equação da elipse fica
u^{2}+v^{2}\le 2,
ou seja, um disco de raio \sqrt{2}. Precisamos também do jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y).
A inversa é x=u, y=v/\sqrt{2}. O jacobiano absoluto é