Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
x^{2}+2 y^{2}=2 ; z=x^{4} e z=0

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies x^{2}+2y^{2}=2, z=x^{4} e z=0.
Informações dadas:
  • A superfície superior é z=x^{4}.
  • A superfície inferior é z=0.
  • A projeção do sólido no plano xy é a região fechada
D=\{(x,y)\mid x^{2}+2y^{2}\le 2\},
ou seja, uma elipse centrada na origem.
Objetivo claro: encontrar o volume
V=\iint_{D}\bigl(x^{4}-0\bigr)\,dA=\iint_{D}x^{4}\,dA.

Passo 2

Raciocínio para montar a integral: o volume entre superfícies z=f(x,y) e z=g(x,y) sobre uma região D no plano é
V=\iint_{D}\bigl(f(x,y)-g(x,y)\bigr)\,dA.
Aqui f(x,y)=x^{4} e g(x,y)=0, portanto
V=\iint_{D}x^{4}\,dA.
Agora precisamos calcular essa integral sobre a elipse x^{2}+2y^{2}\le 2. Uma forma eficiente é transformar a elipse em um disco usando uma mudança linear seguida de coordenadas polares.

Passo 3

Vamos simplificar a região por uma transformação linear que “circulariza” a elipse. Defina
u=x,\qquad v=\sqrt{2}\,y.
Com essa mudança a equação da elipse fica
u^{2}+v^{2}\le 2,
ou seja, um disco de raio \sqrt{2}. Precisamos também do jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y).
A inversa é x=u, y=v/\sqrt{2}. O jacobiano absoluto é
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto dA=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,du\,dv.]

Passo 4

Agora passe para coordenadas polares no plano (u,v). Use
u=\rho\cos\theta,\qquad v=\rho\sin\theta,
com \rho\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). O jacobiano das polares vale \rho, então combinando com a mudança anterior:
dA=\frac{1}{\sqrt{2}}\,du\,dv=\frac{1}{\sqrt{2}}\rho\,d\rho\,d\theta.
Expressar x^{4} em termos de \rho,\theta: lembrando x=u=\rho\cos\theta, temos
x^{4}=(\rho\cos\theta)^{4}=\rho^{4}\cos^{4}\theta.
A região D corresponde a 0\le\rho\le\sqrt{2}, 0\le\theta<2\pi.

Passo 5

Montando a integral em (\rho,\theta):
V=\iint_{D}x^{4}\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{2}}\rho^{4}\cos^{4}\theta\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\rho\right)\,d\rho\,d\theta.
Reorganizando:
V=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta\,d\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}\rho^{5}\,d\rho.

Passo 6

Calcule a integral radial:
\int_{0}^{\sqrt{2}}\rho^{5}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{6}}{6}\right]_{0}^{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{2})^{6}}{6}=\frac{2^{3}}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

Passo 7

Calcule a integral angular \int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta\,d\theta. Use a identidade de redução:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}\quad\Rightarrow\quad \cos^{4}\theta=\biggl(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\biggr)^{2}.
Desenvolvendo:
\cos^{4}\theta=\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta+\cos^{2}2\theta\bigr) =\frac{1}{4}\bigl(1+2\cos 2\theta+\tfrac{1+\cos 4\theta}{2}\bigr),
portanto
\cos^{4}\theta=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2\theta+\frac{1}{8}\cos 4\theta.
Integrando de 0 a 2\pi, os termos com \cos 2\theta e \cos 4\theta desaparecem, ficando
\int_{0}^{2\pi}\cos^{4}\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{8}\,d\theta=\frac{3}{8}\cdot 2\pi=\frac{3\pi}{4}.

Passo 8

Substituindo os resultados em V:
V=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(\frac{3\pi}{4}\right)\cdot\left(\frac{4}{3}\right).
Observe que \dfrac{3\pi}{4}\cdot\dfrac{4}{3}=\pi. Portanto
V=\frac{1}{\sqrt{2}}\pi=\frac{\pi}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}}

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