Nos exercícios a seguir, Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada: \iiint_{S}\left(y+x^{2}\right) z d V, onde S é o sólido no primeiro octante delimitado por z=4-x^{2}, z=0, y=x e y=0.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{S} \left(y+x^{2}\right) z\, dV,
onde S é o sólido no primeiro octante delimitado por z=4-x^{2}, z=0, y=x e y=0.
Informações dadas e perguntas claras:
A função a integrar é \left(y+x^{2}\right) z.
As superfícies que limitam S são:
z=4-x^{2} (paraboloide voltado para baixo),
z=0 (plano),
y=x e y=0 (planos verticais que limitam na direção y).
Está explícito que é o primeiro octante, então vale x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
O objetivo é calcular o valor numérico da integral tripla acima sobre S.
Passo 2
Vamos entender a região S e determinar os limites das integrais (projeção e interseções).
Como z está entre 0 e 4-x^{2}, para que essa faixa exista precisamos de 4-x^{2}\ge 0. Isso dá
No primeiro octante tomamos apenas x\ge 0, logo 0\le x\le 2.
A projeção de S no plano xy (ou seja, a sombra no plano z=0) é dada por 0\le y\le x (porque as paredes verticais são y=0 e y=x) e 0\le x\le 2 (do cálculo acima).
Conclusão das faixas naturais para uma ordem conveniente de integração dz\,dy\,dx:
Escolhi integrar primeiro em z porque o limite superior de z depende só de x, o que simplifica bastante.
Passo 3
Escrever a integral com os limites escolhidos:
\iiint_{S} (y+x^{2}) z\, dV = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4-x^{2}} (y+x^{2})\, z \; dz\, dy\, dx.
Aqui dV foi escrito como dz\,dy\,dx e a ordem de integração é z primeiro, depois y, depois x.
Passo 4
Integramos em z primeiro. Lembrete rápido: quando uma função não depende de z multiplicando uma função de z, podemos tirar o fator que não depende de z para fora da integral em z. A primitiva de z é \dfrac{z^{2}}{2}.
Assim,
\int_{z=0}^{4-x^{2}} (y+x^{2})\, z \; dz = (y+x^{2}) \int_{0}^{4-x^{2}} z \; dz = (y+x^{2}) \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{4-x^{2}} = (y+x^{2})\frac{(4-x^{2})^{2}}{2}.
Passo 5
Agora integramos em y com x fixo. Primeiro calculo a integral em y:
\int_{y=0}^{x} (y+x^{2})\, dy = \int_{0}^{x} y\, dy + \int_{0}^{x} x^{2}\, dy.
Calcule cada parte:
\int_{0}^{x} y\, dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x} = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{x} x^{2}\, dy = x^{2}\cdot\big[y\big]_{0}^{x} = x^{2}\cdot x = x^{3}.
Somando,
\int_{0}^{x} (y+x^{2})\, dy = \frac{x^{2}}{2} + x^{3}.
Multiplicando pelo fator obtido no passo anterior,
\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4-x^{2}} (y+x^{2}) z \; dz\, dy = \frac{(4-x^{2})^{2}}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+x^{3}\right).
Passo 6
Simplificar a expressão dependendo só de x e integrar em x.
Portanto o resultado é \dfrac{816}{105}. Simplificando dividindo por 3:
\frac{816}{105}=\frac{272}{35}.
Passo 7
Interpretação final: a integral tripla sobre o sólido pedido tem valor racional \dfrac{272}{35}. Boa notícia: tudo foi feito por integrais polinomiais — procedimento que dá pra fazer à mão em prova, passo a passo, sem calculadora. Tá indo bem — respira fundo e lembra que montar corretamente os limites é a parte que mais pega, depois é só contas.