Nos exercícios a seguir, Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada:
\iiint_{S}\left(y+x^{2}\right) z d V, onde S é o sólido no primeiro octante delimitado por z=4-x^{2}, z=0, y=x e y=0.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{S} \left(y+x^{2}\right) z\, dV,
onde S é o sólido no primeiro octante delimitado por z=4-x^{2}, z=0, y=x e y=0.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A função a integrar é \left(y+x^{2}\right) z.
  • As superfícies que limitam S são:
    • z=4-x^{2} (paraboloide voltado para baixo),
    • z=0 (plano),
    • y=x e y=0 (planos verticais que limitam na direção y).
  • Está explícito que é o primeiro octante, então vale x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • O objetivo é calcular o valor numérico da integral tripla acima sobre S.

Passo 2

Vamos entender a região S e determinar os limites das integrais (projeção e interseções).
  • Como z está entre 0 e 4-x^{2}, para que essa faixa exista precisamos de 4-x^{2}\ge 0. Isso dá
    4-x^{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}\le 4 \quad\Rightarrow\quad -2\le x\le 2.
    No primeiro octante tomamos apenas x\ge 0, logo 0\le x\le 2.
  • A projeção de S no plano xy (ou seja, a sombra no plano z=0) é dada por 0\le y\le x (porque as paredes verticais são y=0 e y=x) e 0\le x\le 2 (do cálculo acima).
  • Conclusão das faixas naturais para uma ordem conveniente de integração dz\,dy\,dx:
    0\le z\le 4-x^{2},\qquad 0\le y\le x,\qquad 0\le x\le 2.
Escolhi integrar primeiro em z porque o limite superior de z depende só de x, o que simplifica bastante.

Passo 3

Escrever a integral com os limites escolhidos:
\iiint_{S} (y+x^{2}) z\, dV = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4-x^{2}} (y+x^{2})\, z \; dz\, dy\, dx.
Aqui dV foi escrito como dz\,dy\,dx e a ordem de integração é z primeiro, depois y, depois x.

Passo 4

Integramos em z primeiro. Lembrete rápido: quando uma função não depende de z multiplicando uma função de z, podemos tirar o fator que não depende de z para fora da integral em z. A primitiva de z é \dfrac{z^{2}}{2}.
Assim,
\int_{z=0}^{4-x^{2}} (y+x^{2})\, z \; dz = (y+x^{2}) \int_{0}^{4-x^{2}} z \; dz = (y+x^{2}) \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{4-x^{2}} = (y+x^{2})\frac{(4-x^{2})^{2}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em y com x fixo. Primeiro calculo a integral em y:
\int_{y=0}^{x} (y+x^{2})\, dy = \int_{0}^{x} y\, dy + \int_{0}^{x} x^{2}\, dy.
Calcule cada parte:
\int_{0}^{x} y\, dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x} = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{x} x^{2}\, dy = x^{2}\cdot\big[y\big]_{0}^{x} = x^{2}\cdot x = x^{3}.
Somando,
\int_{0}^{x} (y+x^{2})\, dy = \frac{x^{2}}{2} + x^{3}.
Multiplicando pelo fator obtido no passo anterior,
\int_{y=0}^{x}\int_{z=0}^{4-x^{2}} (y+x^{2}) z \; dz\, dy = \frac{(4-x^{2})^{2}}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+x^{3}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão dependendo só de x e integrar em x.
Primeiro reescrever para facilitar a expansão:
\frac{(4-x^{2})^{2}}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+x^{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+x^{3}\right)(4-x^{2})^{2}.
Calcule (4-x^{2})^{2}=16-8x^{2}+x^{4}. Agora multiplico term a term:
Calcule o produto interno antes do fator \tfrac12:
\left(\frac{x^{2}}{2}+x^{3}\right)(16-8x^{2}+x^{4}) = 8x^{2}+16x^{3}-4x^{4}-8x^{5}+\frac{1}{2}x^{6}+x^{7}.
Agora multiplico por \tfrac12:
\frac{1}{2}\big(\cdots\big) =4x^{2}+8x^{3}-2x^{4}-4x^{5}+\frac{1}{4}x^{6}+\frac{1}{2}x^{7}.
Logo a integral em x é
I=\int_{0}^{2}\left(4x^{2}+8x^{3}-2x^{4}-4x^{5}+\tfrac{1}{4}x^{6}+\tfrac{1}{2}x^{7}\right)dx.
Agora integro termo a termo (a primitiva de x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}):
\begin{aligned} \int 4x^{2}\,dx &= \frac{4}{3}x^{3},\\\ \int 8x^{3}\,dx &= 2x^{4},\\\ \int -2x^{4}\,dx &= -\frac{2}{5}x^{5},\\\ \int -4x^{5}\,dx &= -\frac{2}{3}x^{6},\\\ \int \tfrac{1}{4}x^{6}\,dx &= \frac{1}{28}x^{7},\\\ \int \tfrac{1}{2}x^{7}\,dx &= \frac{1}{16}x^{8}. \end{aligned}
Avalio de 0 a 2. Substituindo x=2:
\begin{aligned} \frac{4}{3}x^{3}\Big|_{0}^{2} &= \frac{4}{3}\cdot 8 = \frac{32}{3},\\\\ 2x^{4}\Big|_{0}^{2} &= 2\cdot 16 = 32,\\\\ -\frac{2}{5}x^{5}\Big|_{0}^{2} &= -\frac{2}{5}\cdot 32 = -\frac{64}{5},\\\\ -\frac{2}{3}x^{6}\Big|_{0}^{2} &= -\frac{2}{3}\cdot 64 = -\frac{128}{3},\\\ \frac{1}{28}x^{7}\Big|_{0}^{2} &= \frac{1}{28}\cdot 128 = \frac{128}{28}=\frac{32}{7},\\\ \frac{1}{16}x^{8}\Big|_{0}^{2} &= \frac{1}{16}\cdot 256 = 16. \end{aligned}
Somando todas essas parcelas:
\frac{32}{3}+32-\frac{64}{5}-\frac{128}{3}+\frac{32}{7}+16.
Para somar, reduzo ao mesmo denominador 105 (mínimo comum prático):
\frac{32}{3}=\frac{1120}{105},\quad 32=\frac{3360}{105},\quad -\frac{64}{5}=-\frac{1344}{105},\quad -\frac{128}{3}=-\frac{4480}{105},
\frac{32}{7}=\frac{480}{105},\quad 16=\frac{1680}{105}.
Somando os numeradores:
1120+3360-1344-4480+480+1680 = 816.
Portanto o resultado é \dfrac{816}{105}. Simplificando dividindo por 3:
\frac{816}{105}=\frac{272}{35}.

Passo 7

Interpretação final: a integral tripla sobre o sólido pedido tem valor racional \dfrac{272}{35}. Boa notícia: tudo foi feito por integrais polinomiais — procedimento que dá pra fazer à mão em prova, passo a passo, sem calculadora. Tá indo bem — respira fundo e lembra que montar corretamente os limites é a parte que mais pega, depois é só contas.

Resposta

\dfrac{272}{35}

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