Calcular as seguintes integrais: integral-1^3 x+3x^2+5 x+6 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral definida de uma função racional, ou seja, integral-1^3 x+3x^2+5x+6 ,dx. Vamos usar frações parciais para integrar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^2+5x+6. Notamos que
x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

Passo 3

Em seguida, fazemos a decomposição em frações parciais: Queremos x+3(x+2)(x+3)=Ax+2+Bx+3
Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x+3), obtemos
x+3 = A(x+3)+B(x+2)= (A+B)x + (3A+2B)

Passo 4

Comparando coeficientes, temos o sistema
A+B=1, 3A+2B=3
Resolvendo, encontramos A=1 e B=0. Logo,
x+3(x+2)(x+3) = 1x+2

Passo 5

Agora a integral fica
integral-1^3 1x+2 ,dx

Passo 6

Sabendo que integral 1x+2 ,dx = lnl|x+2r| + C, avaliamos de -1 a 3:
l[lnl|x+2r|r]-1^3 = ln|5| - ln|1| = ln5 - 0

Resposta

ln5

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