Encontre uma solução contínua para o PVI
y^prime+y & =g(x) y(0) & =0
onde
g(x)=lll 2, & se & 0 <= x <= 1 0, & se & x>1
(Resp. y(x)=cl2(1-e^-x), & se 0 <= x <= 1 2(e-1) e^-x, & se x>1)

Passo 1

Estamos diante de um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem linear não homogênea:
y' + y = g(x), y(0)=0,
onde
g(x)=2,&0<= x<=1,0,&x>1
Vamos usar o método do fator integrante e resolver em cada pedaço, impondo a condição de continuidade em x=1.

Passo 2

Para 0<= x<=1 temos g(x)=2. A equação fica
y' + y = 2
O fator integrante é mu(x)=e^integral1,dx=e^x. Multiplicando, obtemos
ddx(e^x y)=2e^x
Integrando de 0 até x:
e^x y - e^0 y(0)=2integral0^x e^t dt=2(e^x-1)
Como y(0)=0, temos e^x y=2(e^x-1) e
y(x)=2l(1-e^-xr),0<= x<=1

Passo 3

Para x>1 temos g(x)=0, então a equação homogênea é
y' + y=0
com solução geral y(x)=C e^-x. Impomos continuidade em x=1:
C e^-1=y(1^-)=2l(1-e^-1r)
logo C=2(e-1) e
y(x)=2(e-1)e^-x, x>1

Resposta

A solução contínua do PVI é
y(x)= 2l(1-e^-xr),&0<= x<=1, 2(e-1)e^-x,&x>1

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