Use o método de integração por partes para calcular: integral0^pi / 3 4 x cos 2 x d x

Passo 1

Temos a integral integral0^pi/34xcos2x,dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que usa a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos escolher funções u e dv de forma a simplificar a conta.

Passo 2

Escolhemos u = 4x (já que ao derivar fica algo simples) e dv = cos2x,dx. Assim, derivamos e integramos: du = 4,dx, v = integral cos2x,dx = tfrac12sin2x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes em [0,,pi/3]: integral0^pi/34xcos2x,dx = l u,v r|0^pi/3 - integral0^pi/3v,du Substituindo u, v, du: = l[2xsin2xr]0^pi/3 - integral0^pi/3tfrac12sin2x cdot 4,dx = l[2xsin2xr]0^pi/3 - 2integral0^pi/3sin2x,dx

Passo 4

Agora avaliamos cada parte. Primeiro, Depois, l[2xsin2xr]0^pi/3 = 2cdottfracpi3cdotsintfrac2pi3 - 0 = tfrac2pi3cdottfracraiz32 = tfracpiraiz33 então integral0^pi/3sin2x,dx = l[-tfrac12cos2xr]0^pi/3 = -tfrac12l(costfrac2pi3-cos0r) = -tfrac12l(-tfrac12-1r) = tfrac34, Juntando, a integral vale 2times tfrac34 = tfrac32

Resposta

piraiz33 - 32

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