Calcular as seguintes integrais: integral3^6 x^2-3x^3-7 x+6 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral definida de 3 a 6 da função racional x^2-3x^3-7x+6. Isso envolve conteúdo de integração de funções racionais, e vamos precisar usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador pra ver seus pólos. Temos:
x^3-7x+6 = (x-1)(x^2+x-6) = (x-1)(x-2)(x+3)

Passo 3

Em seguida fazemos a decomposição em frações parciais:
x^2-3(x-1)(x-2)(x+3) = Ax-1 + Bx-2 + Cx+3
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2)(x+3) obtemos
x^2-3 = A(x-2)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(x-2)

Passo 4

Igualamos coeficientes para formar um sistema:
A + B + C = 1, A + 2B - 3C = 0, -6A - 3B + 2C = -3
Resolvendo esse sistema encontra-se
A=tfrac12,;B=tfrac15,;C=tfrac310

Passo 5

Com esses valores, a integral indefinida é
integral x^2-3x^3-7x+6,dx = 12ln|x-1| + 15ln|x-2| + 310ln|x+3| + C

Passo 6

Agora avaliamos de 3 a 6:
gl[tfrac12ln(x-1)+tfrac15ln(x-2)+tfrac310ln(x+3)gr]3^6 = l(tfrac12ln5+tfrac15ln4+tfrac310ln9r) - l(tfrac12ln2+tfrac15ln1+tfrac310ln6r)

Passo 7

Por fim simplificamos usando ln1=0 e propriedades de logaritmo:
= tfrac12(ln5-ln2) + tfrac15ln4 + tfrac310(ln9-ln6) = tfrac110l(5ln5+3ln3 -4ln2r)

Resposta

110l(5ln5+3ln3-4ln2r)

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