Calcular as seguintes integrais triplas, esboçando o corpo G dos sólidos: \iiint_{G} x y d x d y d z, sendo G o paralelepípedo dado por 0 \leq x \leq 3 ; 1 \leq y \leq 2 e 2 \leq z \leq 4(3.0 \mathrm{~V})
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{G} x y \, dx\,dy\,dz,
onde o corpo G é o paralelepípedo dado pelos limites
0 \leq x \leq 3,\qquad 1 \leq y \leq 2,\qquad 2 \leq z \leq 4.
As informações relevantes são: os intervalos de cada variável (que definem um bloco retangular no espaço) e a função integranda x y.
Passo 2
Esboço verbal do corpo G: G é um bloco retangular (paralelepípedo reto) cuja base no plano xy é o retângulo [0,3]\times[1,2]. A altura em z vai de z=2 até z=4, portanto a espessura vertical é 4-2=2. Os vértices extremos do paralelepípedo incluem, por exemplo, (0,1,2) e (3,2,4). Para desenhar: no plano xy marque o retângulo entre x=0 e x=3, e entre y=1 e y=2; então eleve esse retângulo ao longo de z de 2 a 4.
Passo 3
Montagem da integral iterada usando os limites dados. Como G é produto dos intervalos, podemos escrever a integral tripla como integral iterada padrão:
\iiint_{G} x y \, dx\,dy\,dz =\int_{x=0}^{3}\int_{y=1}^{2}\int_{z=2}^{4} x y \, dz\,dy\,dx.
Passo 4
Observação útil (teorema de Fubini / separação): o integrando x y não depende de z. Quando a função não depende de uma variável, a integral sobre esse intervalo é simplesmente a função multiplicada pelo comprimento do intervalo. Assim,
\int_{z=2}^{4} x y \, dz = x y \int_{z=2}^{4} 1\,dz = x y\,(4-2)=2\,x y.
Expliquei: aqui tratamos x e y como constantes em relação a z, então a antiderivada de 1 em z é z, e avaliando de 2 a 4 dá 2.
Passo 5
Substituindo o resultado da integração em z na integral original, obtemos uma integral dupla:
\iiint_{G} x y \, dV = \int_{x=0}^{3}\int_{y=1}^{2} 2\,x y \, dy\,dx.
Podemos colocar o fator 2 fora:
=2\int_{x=0}^{3}\int_{y=1}^{2} x y \, dy\,dx.
Como o domínio é retângulo e a integranda é produto de função de x por função de y, podemos separar:
\int_{x=0}^{3}\int_{y=1}^{2} x y \, dy\,dx =\left(\int_{x=0}^{3} x\,dx\right)\left(\int_{y=1}^{2} y\,dy\right).
Expliquei: a separação é válida porque a integral dupla de f(x)g(y) sobre um produto de intervalos é o produto das integrais.
Passo 6
Calcule as integrais simples passo a passo.
Para \int_{x=0}^{3} x\,dx, a antiderivada de x é \tfrac{x^{2}}{2}. Avaliando de 0 a 3: