Calcular as seguintes integrais triplas, esboçando o corpo G dos sólidos: \iiint_{G} 2 z d V, sendo G o sólido do primeiro octante iimitado pelas superfícies cilíndricas x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e z=y. (Mude para coordenadas cilindricas)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{G} 2z \, dV,
onde G é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies cilíndricas x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e z=y. O enunciado também manda mudar para coordenadas cilíndricas.\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Região em xy: entre os cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
Região em z: entre o plano z=0 e o plano z=y.
Sólido está no primeiro octante, portanto x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
Objetivo: escrever a integral em coordenadas cilíndricas e calcular seu valor numérico.
Passo 2
Vamos lembrar como passar para coordenadas cilíndricas (aquelas que são nossas amigas nessas situações com x^{2}+y^{2}):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo no plano xy. O diferencial de volume transforma-se como
dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
onde o fator r é o jacobiano da mudança de variáveis (ele aparece porque um pequeno retângulo em coordenadas polares tem área r\,dr\,d\theta).\n
Também converteremos a função y para r\sin\theta quando aparecer.
Passo 3
Agora traduzimos as fronteiras do sólido G para coordenadas cilíndricas, usando informações do Passo 1:
As superfícies x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4 viram r=1 e r=2. Então 1\le r\le 2. (Peguei esses dados do enunciado.)
Primeiro octante implica \theta entre 0 e \tfrac{\pi}{2}: 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
O plano inferior é z=0. O plano superior é z=y, que em cilíndricas é z=r\sin\theta. Então 0\le z\le r\sin\theta.\n
Portanto os limites em cilíndricas são:
Esboço verbal do corpo G (para você imaginar/riscar no caderno):
No plano xy é um anel circular (entre r=1 e r=2), mas só o setor do primeiro quadrante (0\le\theta\le\frac{\pi}{2}). Então é um “anel setorial”.
Em cada ponto desse anel o z vai de 0 até z=y=r\sin\theta. Assim o teto é um plano inclinado z=y que toca a origem e sobe na direção positiva de y. Para \theta=0 o teto vale zero (pois y=0), para \theta=\frac{\pi}{2} o teto vale z=r (no eixo y). O ponto mais alto do sólido é em r=2,\\ \theta=\frac{\pi}{2}, onde z_{\max}=2.\n
Desenhe um anel no primeiro quadrante e depois uma rampa inclinada z=y por cima — isso já dá a ideia do sólido. Você consegue!