Calcular as seguintes integrais triplas, esboçando o corpo G dos sólidos:
\iiint_{G} 2 z d V, sendo G o sólido do primeiro octante iimitado pelas superfícies cilíndricas x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e z=y. (Mude para coordenadas cilindricas)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{G} 2z \, dV,
onde G é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies cilíndricas x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4 e pelos planos z=0 e z=y. O enunciado também manda mudar para coordenadas cilíndricas.\n
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Região em xy: entre os cilindros x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4.
  • Região em z: entre o plano z=0 e o plano z=y.
  • Sólido está no primeiro octante, portanto x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • Objetivo: escrever a integral em coordenadas cilíndricas e calcular seu valor numérico.

Passo 2

Vamos lembrar como passar para coordenadas cilíndricas (aquelas que são nossas amigas nessas situações com x^{2}+y^{2}):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
Aqui r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo no plano xy. O diferencial de volume transforma-se como
dV = r\,dr\,d\theta\,dz,
onde o fator r é o jacobiano da mudança de variáveis (ele aparece porque um pequeno retângulo em coordenadas polares tem área r\,dr\,d\theta).\n
Também converteremos a função y para r\sin\theta quando aparecer.

Passo 3

Agora traduzimos as fronteiras do sólido G para coordenadas cilíndricas, usando informações do Passo 1:
  • As superfícies x^{2}+y^{2}=1 e x^{2}+y^{2}=4 viram r=1 e r=2. Então 1\le r\le 2. (Peguei esses dados do enunciado.)
  • Primeiro octante implica \theta entre 0 e \tfrac{\pi}{2}: 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
  • O plano inferior é z=0. O plano superior é z=y, que em cilíndricas é z=r\sin\theta. Então 0\le z\le r\sin\theta.\n
    Portanto os limites em cilíndricas são:
0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\qquad 1\le r\le 2,\qquad 0\le z\le r\sin\theta.

Passo 4

Escrevemos a integral em coordenadas cilíndricas. A integranda 2z permanece 2z e dV vira r\,dz\,dr\,d\theta. Assim:
\iiint_{G} 2z\,dV = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=1}^{2}\int_{z=0}^{r\sin\theta} 2z\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Essa é a configuração que vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeira integração (em z). Temos que calcular a integral interna
\int_{0}^{r\sin\theta} 2z\; r\,dz.
Como r é constante relativamente a z, sai da integral:
r\int_{0}^{r\sin\theta} 2z\,dz.
Integramos 2z em relação a z: \int 2z\,dz = z^{2}. Avaliando de 0 a r\sin\theta obtemos
r\big[(r\sin\theta)^{2}-0^{2}\big] = r\cdot r^{2}\sin^{2}\theta = r^{3}\sin^{2}\theta.
Portanto a integral tripla reduz-se a
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^{2} r^{3}\sin^{2}\theta \,dr\,d\theta.

Passo 6

Separação de variáveis: a integranda é produto de uma função de r por outra de \theta, então podemos separar:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{1}^{2} r^{3}\sin^{2}\theta \,dr\,d\theta = \left(\int_{1}^{2} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta\,d\theta\right).
Calculemos cada uma das integrais separadamente.
Cálculo da integral em r:
\int_{1}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{1}^{2} = \frac{2^{4}-1^{4}}{4}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}.

Passo 7

Cálculo da integral em \theta. Usamos a identidade trigonométrica
\sin^{2}\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Assim
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta - \frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}.
Avaliação:
\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - 0 - \frac{\sin(\pi)-\sin(0)}{2}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.
Logo \displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}.

Passo 8

Multiplicando os resultados dos Passos 6 e 7:
\left(\frac{15}{4}\right)\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{15\pi}{16}.
Esse é o valor da integral.

Passo 9

Esboço verbal do corpo G (para você imaginar/riscar no caderno):
  • No plano xy é um anel circular (entre r=1 e r=2), mas só o setor do primeiro quadrante ( 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}). Então é um “anel setorial”.
  • Em cada ponto desse anel o z vai de 0 até z=y=r\sin\theta. Assim o teto é um plano inclinado z=y que toca a origem e sobe na direção positiva de y. Para \theta=0 o teto vale zero (pois y=0), para \theta=\frac{\pi}{2} o teto vale z=r (no eixo y). O ponto mais alto do sólido é em r=2,\\ \theta=\frac{\pi}{2}, onde z_{\max}=2.\n
    Desenhe um anel no primeiro quadrante e depois uma rampa inclinada z=y por cima — isso já dá a ideia do sólido. Você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{15\pi}{16}

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