Calcular as seguintes integrais utilizando o método indicado.
I=integral raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral $ I = \int \sqrt{4 - x^{2}} , dx $. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em Integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma expressão da forma $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $, onde $ a = 2 $. Nesse caso, a substituição trigonométrica adequada é $ x = a \sin \theta $. Então, vamos definir:
raiza^2 - x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $. Derivando ambos os lados da equação $ x = 2 \sin \theta $, temos:
dx

Passo 4

Vamos substituir $ x $ e $ dx $ na integral original:
x
Simplificando dentro da raiz:
dx

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
I = integral 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = integral 4 cos^2 theta , dtheta

Passo 6

Para integrar $ \cos^{2} \theta $, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta
Então,
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2

Passo 7

Integrando termo a termo:
I = 2 ( integral 1 , dtheta + integral cos 2theta , dtheta ) = 2 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Simplificando:
I = 2theta + sin 2theta + C

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original $ x $. Sabemos que $ x = 2 \sin \theta $, então:
x
Também, usando a identidade $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $:
x = 2 sin theta
Como $ \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2} $, então:
sin theta = x2 implies theta = arcsin(x2)

Passo 9

Substituindo tudo de volta na expressão de $ I $:
I
Podemos reescrever de forma mais elegante:
I = 2 arcsin(x2) + x raiz4 - x^22 + C

Resposta

A integral é igual a $ \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C $.

Exercícios relacionados