Calcular as seguintes integrais utilizando o método indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral $ I = \int \sqrt{4 - x^{2}} , dx $. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em Integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrar expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com uma expressão da forma $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $, onde $ a = 2 $. Nesse caso, a substituição trigonométrica adequada é $ x = a \sin \theta $. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $. Derivando ambos os lados da equação $ x = 2 \sin \theta $, temos:
Passo 4
Vamos substituir $ x $ e $ dx $ na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Para integrar $ \cos^{2} \theta $, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 7
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 8
Agora, voltamos para a variável original $ x $. Sabemos que $ x = 2 \sin \theta $, então:
Também, usando a identidade $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $:
Como $ \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{2} $, então:
Passo 9
Substituindo tudo de volta na expressão de $ I $:
Podemos reescrever de forma mais elegante:
Resposta
A integral é igual a $ \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C $.