Calcular as seguintes integrais utilizando o método indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo $ I = \int e^{2x} \sin x , dx
e^{2x}
\sin x $). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
Nesse método, a gente escolhe quais partes da nossa integral vão ser $ u $ e $ dv $.
Passo 3
Vamos escolher:
Agora, precisamos calcular $ du $ e $ v $.
Passo 4
Calculando $ du $:
E para $ v $, vamos integrar $ dv $:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos chamar a segunda integral de $ J $:
Vamos resolver $ J $ usando novamente a integração por partes.
Passo 7
Escolhendo para $ J $:
Calculando $ du $ e $ v $:
Passo 8
Aplicando a fórmula da integração por partes para $ J $:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 9
Observamos que a integral que apareceu é justamente $ I $. Então, substituindo de volta:
Passo 10
Voltando à expressão de $ I $ que tínhamos:
Substituindo $ J $:
Passo 11
Vamos simplificar a equação para resolver $ I $:
Agora, somamos $ \frac{I}{4} $ dos dois lados:
Passo 12
Isolando $ I $:
Simplificando:
Resposta
A integral $ I = \int e^{2x} \sin x , dx $ é igual a:
Onde $ C $ é a constante de integração.