Calcular as seguintes integrais utilizando o método indicado.
I=integral e^2 x sen x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral do tipo $ I = \int e^{2x} \sin x , dx I = integral e^2x sin x , dx çõ e^{2x} e^2x é \sin x $). Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nesse método, a gente escolhe quais partes da nossa integral vão ser $ u $ e $ dv $.

Passo 3

Vamos escolher:
u = sin x e dv = e^2x , dx
Agora, precisamos calcular $ du $ e $ v $.

Passo 4

Calculando $ du $:
du
E para $ v $, vamos integrar $ dv $:
du = cos x , dx

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
I = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
I = sin x cdot e^2x2 - integral e^2x2 cos x , dx
Simplificando:
I = e^2x sin x2 - 12 integral e^2x cos x , dx

Passo 6

Agora, vamos chamar a segunda integral de $ J $:
J
Vamos resolver $ J $ usando novamente a integração por partes.

Passo 7

Escolhendo para $ J $:
J
Calculando $ du $ e $ v $:
u = cos x e dv = e^2x , dx

Passo 8

Aplicando a fórmula da integração por partes para $ J $:
J
Substituindo:
J = uv - integral v , du
Simplificando:
J = cos x cdot e^2x2 - integral e^2x2 (-sin x) , dx

Passo 9

Observamos que a integral que apareceu é justamente $ I $. Então, substituindo de volta:
I

Passo 10

Voltando à expressão de $ I $ que tínhamos:
I
Substituindo $ J $:
I = e^2x sin x2 - 12 J

Passo 11

Vamos simplificar a equação para resolver $ I $:
I
Agora, somamos $ \frac{I}{4} $ dos dois lados:
I = e^2x sin x2 - e^2x cos x4 - I4
I4

Passo 12

Isolando $ I $:
I
Simplificando:
I = ( e^2x sin x2 - e^2x cos x4 ) cdot 45

Resposta

A integral $ I = \int e^{2x} \sin x , dx $ é igual a:
I = integral e^2x sin x , dx
Onde $ C $ é a constante de integração.

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