Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
integral0^pi x^3 cos (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi x^3cos(x^2),dx. O conteúdo principal é substituição simples e depois integração por partes. Vamos usar uma mudança de variável para simplificar o integrando e em seguida aplicar a fórmula de partes.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^2, logo du = 2x,dx ou x,dx = tfrac12du. Observe que x^3 = x^2cdot x = ucdot x. Assim a integral fica
integral0^pi x^3cos(x^2),dx = integralx=0^x=pi u,cos(u)cdot 12,du = 12integral0^pi^2 ucos(u),du
Agora resolvemos integral ucos(u),du por partes. Lembrando que a fórmula de integração por partes é integral v,dw = v w - integral w,dv. Tomamos
v = u, dw = cos(u),du implies dv = du, w = sin(u)

Passo 3

Aplicando partes temos
integral ucos(u),du = usin(u) - integral 1cdotsin(u),du = usin(u) + cos(u) + C
Voltando à integral definida,
12integral0^pi^2 ucos(u),du = 12l[usin(u) + cos(u)r]0^pi^2
Agora avaliamos nos limites: em u=pi^2 temos pi^2sin(pi^2) + cos(pi^2); em u=0 temos 0cdotsin(0) + cos(0)=1. Então
12l(pi^2sin(pi^2) + cos(pi^2) - 1r)

Resposta

pi^2sin(pi^2) + cos(pi^2) - 12

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