Calcule o valor das seguintes integrais definidas:
integral1^2 ln t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função logarítmica. O conteúdo principal aqui é integração por partes, que nos permite integrar produtos de funções. Vamos precisar usar a fórmula de integração por partes para resolver integral1^2 ln t,dt.

Passo 2

A fórmula de integração por partes diz que, para funções u(t) e v(t), vale
integral u,dv = u,v - integral v,du
Aqui escolhemos
u = ln t, dv = dt,
pois assim conseguimos simplificar a integral.

Passo 3

Calculamos as diferenciações e integrações necessárias:
du = 1t,dt, v = integral dv = integral dt = t
Substituindo na fórmula de partes, obtemos
integral ln t,dt = tln t - integral t cdot 1t,dt = tln t - integral 1,dt

Passo 4

Agora fazemos a integral definida de 1 a 2. Temos
integral1^2 ln t,dt = l[tln t - tr]1^2
Isso significa avaliar em t=2 e subtrair o valor em t=1.

Passo 5

Avaliação nos limites:
Em t=2: 2ln2 - 2.
Em t=1: 1ln1 - 1 = -1, pois ln1 = 0.
Subtraindo, fica:
(2ln2 - 2) - (-1) = 2ln2 - 2 + 1 = 2ln2 - 1

Passo 6

Portanto, o valor da integral é 2ln2 - 1.

Resposta

2\ln2 - 1

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