Calcular os seguintes limites:
04) \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{x^{2}+3 x-1}{x^{2}+2}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}\right].
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A expressão é uma função racional, ou seja, quociente de dois polinômios.
  • O numerador é x^{2}+3x-1.
  • O denominador é x^{2}+2.
  • O ponto em que o limite é pedido é x=0.

Passo 2

Conceito e regra que vou usar (explicando devagar como se estivéssemos na prova):
  • Polinômios são funções contínuas em todo número real. Isso significa que para um polinômio p(x), \lim_{x\to a} p(x)=p(a)para qualquer ponto a.
  • O quociente de duas funções contínuas é contínuo em pontos onde o denominador não é zero. Ou seja, se f e g são contínuas em a e g(a)\neq0, então \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(a)}{g(a)}.
  • Aqui tanto o numerador quanto o denominador são polinômios, logo contínuos em 0. Portanto basta verificar que o denominador em 0 não é zero; se não for, o limite é dado pela substituição direta x=0.

Passo 3

Verificar o denominador em x=0:
x^{2}+2 \quad\text{em}\quad x=0 \Rightarrow 0^{2}+2 = 2.
Como 2\neq 0, a condição para aplicar a substituição direta está satisfeita.

Passo 4

Calcular o numerador e o denominador em x=0:
\text{numerador em }0: \;0^{2}+3\cdot 0-1 = -1,
\text{denominador em }0: \;0^{2}+2 = 2.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente (substituição direta) e obter o valor do limite:
\lim_{x\rightarrow 0}\left[\frac{x^{2}+3x-1}{x^{2}+2}\right]=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.

Resposta

-\frac{1}{2}

Exercícios relacionados