Calcular os seguintes limites:
16) \lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h\rightarrow 0}\left[\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right].
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável que tende a zero é h; a letra x é um ponto fixo (ou parâmetro) onde se avalia o limite.
  • Vamos manipular a expressão algébrica envolvendo cossenos e usar limites trigonométricos fundamentais que são normalmente aceitos/provados separadamente: \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 e \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\cos t-1}{t}=0.
  • O objetivo final é simplificar a expressão de maneira a aplicar esses limites.

Passo 2

Usar a fórmula da soma para cosseno (fórmula de adição). A fórmula diz:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Aplicando com a=x e b=h obtemos:
\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h.
Substituindo na expressão do limite:
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}.

Passo 3

Agrupar termos para separar os fatores que dependem de h:
\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h} = \frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}.
Agora separamos em duas frações lineares:
\frac{\cos x(\cos h-1)}{h} - \frac{\sin x\sin h}{h}.

Passo 4

Colocar os fatores constantes em evidência (constantes em relação a h — lembrando que x é fixo) e reescrever:
\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h} \;-\; \sin x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Para avaliar o limite quando h\to0 vamos usar os limites trigonométricos fundamentais:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1, \qquad \lim_{t\to 0}\frac{\cos t-1}{t}=0.

Passo 5

Breve demonstração/justificativa dos dois limites usados (essenciais e padrão):
(A) Prova esquemática de \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. Para t pequeno e positivo usa-se a desigualdade geométrica no círculo unitário:
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1 \quad\text{para }0<t<\frac{\pi}{2}.
Tomando limites quando t\to0^+, \cos t\to1, então pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue \displaystyle\lim_{t\to0^+}\frac{\sin t}{t}=1. Como a função \sin t/t é par, o mesmo vale para t\to0^-. Logo \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
(B) Prova de \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\cos t-1}{t}=0. Usar a identidade
\cos t-1 = -2\sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right).
Então
\frac{\cos t-1}{t} = -2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\frac{t}{2}\right)}{t} = -2\left(\frac{\sin\!\left(\frac{t}{2}\right)}{\frac{t}{2}}\right)^2\cdot\frac{t}{4}.
Como \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin(t/2)}{t/2}=1, o fator \left(\frac{\sin(t/2)}{t/2}\right)^2 tende a 1 e resta um fator \frac{t}{4} que tende a 0. Portanto \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\cos t-1}{t}=0.

Passo 6

Aplicar os limites às duas parcelas da expressão obtida no Passo 4. Usando continuidade das multiplicações por constantes:
\lim_{h\to0}\left[\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h}\right] = \cos x\cdot 0 = 0,
\lim_{h\to0}\left[\sin x\cdot\frac{\sin h}{h}\right] = \sin x\cdot 1 = \sin x.
Lembrar do sinal negativo na expressão original. Portanto o limite total é
0 - \sin x = -\sin x.

Resposta

-\sin x

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