Calcular os seguintes limites:
16)
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Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável que tende a zero é
; a letra é um ponto fixo (ou parâmetro) onde se avalia o limite. - Vamos manipular a expressão algébrica envolvendo cossenos e usar limites trigonométricos fundamentais que são normalmente aceitos/provados separadamente:
e . - O objetivo final é simplificar a expressão de maneira a aplicar esses limites.
Passo 2
Usar a fórmula da soma para cosseno (fórmula de adição). A fórmula diz:
Aplicando com
e
obtemos:
Substituindo na expressão do limite:
Passo 3
Agrupar termos para separar os fatores que dependem de
:
Agora separamos em duas frações lineares:
Passo 4
Colocar os fatores constantes em evidência (constantes em relação a
— lembrando que
é fixo) e reescrever:
Para avaliar o limite quando
vamos usar os limites trigonométricos fundamentais:
Passo 5
Breve demonstração/justificativa dos dois limites usados (essenciais e padrão):
(A) Prova esquemática de
. Para
pequeno e positivo usa-se a desigualdade geométrica no círculo unitário:
Tomando limites quando
,
, então pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue
. Como a função
é par, o mesmo vale para
. Logo
.
(B) Prova de
. Usar a identidade
Então
Como
, o fator
tende a
e resta um fator
que tende a
. Portanto
.
Passo 6
Aplicar os limites às duas parcelas da expressão obtida no Passo 4. Usando continuidade das multiplicações por constantes:
Lembrar do sinal negativo na expressão original. Portanto o limite total é