Calcular os seguintes limites:
11) \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{4 x^{3}-2 x^{2}+x}{3 x^{2}+2 x}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}.
Informações dadas:
  • A função a considerar é f(x)=\dfrac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Não há outros dados ou condições adicionais.

Passo 2

Primeira verificação: tentar substituição direta em x=0.
\text{numerador em }0: \;4\cdot0^{3}-2\cdot0^{2}+0=0, \qquad \text{denominador em }0: \;3\cdot0^{2}+2\cdot0=0.
Logo a forma é \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição direta: é preciso manipular a expressão (ou usar outro método) para remover a indeterminação.

Passo 3

Método escolhido: fatorar e simplificar (é o mais direto aqui). Vamos fatorar x em numerador e denominador porque ambos têm todos os termos com fator comum x.
4x^{3}-2x^{2}+x = x\bigl(4x^{2}-2x+1\bigr),
3x^{2}+2x = x\bigl(3x+2\bigr).
Para x\neq 0 podemos cancelar o fator comum x, obtendo a expressão equivalente (para x próximo de 0, exceto em 0):
\frac{4x^{3}-2x^{2}+x}{3x^{2}+2x} = \frac{x\bigl(4x^{2}-2x+1\bigr)}{x\bigl(3x+2\bigr)} = \frac{4x^{2}-2x+1}{3x+2}.

Passo 4

Agora a expressão simplificada \dfrac{4x^{2}-2x+1}{3x+2} é uma razão de polinômios cujo denominador em x=0 vale 3\cdot0+2=2\neq 0. Por isso essa função é contínua em x=0 e podemos avaliar o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 0}\frac{4x^{2}-2x+1}{3x+2} = \frac{4\cdot0^{2}-2\cdot0+1}{3\cdot0+2}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação final e comentário didático:
  • O limite existe e vale \dfrac{1}{2}.
  • A indeterminação inicial \dfrac{0}{0} foi removida ao fatorar e cancelar x. Isso indica que a função original tem uma descontinuidade removível em x=0: se definíssemos o valor da função em 0 como \dfrac{1}{2}, a função ficaria contínua em 0.
  • Alternativa: poderia-se também aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador e avaliar em 0), que daria o mesmo resultado:
\frac{d}{dx}(4x^{3}-2x^{2}+x)=12x^{2}-4x+1,\qquad \frac{d}{dx}(3x^{2}+2x)=6x+2,
avaliando em 0 obtém-se \dfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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