Calcular os seguintes limites:
11)
11)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas:
- A função a considerar é
. - O ponto de interesse é
. - Não há outros dados ou condições adicionais.
Passo 2
Primeira verificação: tentar substituição direta em
.
Logo a forma é
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição direta: é preciso manipular a expressão (ou usar outro método) para remover a indeterminação.
Passo 3
Método escolhido: fatorar e simplificar (é o mais direto aqui). Vamos fatorar
em numerador e denominador porque ambos têm todos os termos com fator comum
.
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão equivalente (para
próximo de
, exceto em
):
Passo 4
Agora a expressão simplificada
é uma razão de polinômios cujo denominador em
vale
. Por isso essa função é contínua em
e podemos avaliar o limite por substituição direta:
Passo 5
Interpretação final e comentário didático:
- O limite existe e vale
. - A indeterminação inicial
foi removida ao fatorar e cancelar . Isso indica que a função original tem uma descontinuidade removível em : se definíssemos o valor da função em como , a função ficaria contínua em . - Alternativa: poderia-se também aplicar a Regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador e avaliar em
), que daria o mesmo resultado:
avaliando em
obtém-se
.