1. \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\pi}{4}-x}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\tan(4x)}{\frac{\pi}{4}-x}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função no numerador é \tan(4x).
  • O ponto de aproximação é x=\frac{\pi}{4}.
  • Ao substituir x=\frac{\pi}{4} diretamente obtemos uma forma potencialmente indeterminada (vamos checar isso no próximo passo).

Passo 2

Verificar a forma da expressão ao aproximar x por \frac{\pi}{4}. Substituindo:
\tan(4\cdot\tfrac{\pi}{4})=\tan(\pi)=0, \qquad \frac{\pi}{4}-\tfrac{\pi}{4}=0.
Portanto a expressão toma a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso indica que precisamos manipular a expressão para obter o limite.

Passo 3

Faça a substituição auxiliar que simplifica a manipulação: defina
t=\frac{\pi}{4}-x.
Quando x\to\frac{\pi}{4} temos t\to 0. Reescrevendo x em função de t:
x=\frac{\pi}{4}-t.
Agora escrevemos o numerador em termos de t:
4x = 4\Big(\frac{\pi}{4}-t\Big)=\pi-4t.
Usamos a identidade trigonométrica
\tan(\pi-\theta)=-\tan(\theta),
para obter
\tan(4x)=\tan(\pi-4t)=-\tan(4t).
O denominador fica simplesmente t. Assim o limite se transforma em
\lim_{t\to 0}\frac{-\tan(4t)}{t}.

Passo 4

Fatoramos para tornar a expressão numa forma com um limite padrão. Observando que
\frac{\tan(4t)}{t}=\frac{\tan(4t)}{4t}\cdot 4,
temos
\frac{-\tan(4t)}{t}=-4\cdot\frac{\tan(4t)}{4t}.
Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{-\tan(4t)}{t}=-4\cdot\lim_{t\to 0}\frac{\tan(4t)}{4t}.

Passo 5

Usamos o limite trigonométrico padrão
\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=1.
Explicação rápida e intuitiva desse fato: \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Sabe-se que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to 0}\cos u=1. Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{\tan u}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}=1\cdot 1=1.
Aplicando com u=4t (e lembrando que quando t\to 0 também u=4t\to 0), obtemos
\lim_{t\to 0}\frac{\tan(4t)}{4t}=1.

Passo 6

Substituindo esse resultado em -4\cdot\lim_{t\to 0}\dfrac{\tan(4t)}{4t} obtemos
\lim_{t\to 0}\frac{-\tan(4t)}{t}=-4\cdot 1 = -4.
Portanto o limite original vale -4. Força aí — passo simples, só lembrar da identidade \tan(\pi-\theta)=-\tan\theta e do limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\tan u}{u}=1.

Resposta

-4

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