Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas que vamos usar:
- A função no numerador é
. - O ponto de aproximação é
. - Ao substituir
diretamente obtemos uma forma potencialmente indeterminada (vamos checar isso no próximo passo).
Passo 2
Verificar a forma da expressão ao aproximar
por
. Substituindo:
Portanto a expressão toma a forma indeterminada
. Isso indica que precisamos manipular a expressão para obter o limite.
Passo 3
Faça a substituição auxiliar que simplifica a manipulação: defina
Quando
temos
. Reescrevendo
em função de
:
Agora escrevemos o numerador em termos de
:
Usamos a identidade trigonométrica
para obter
O denominador fica simplesmente
. Assim o limite se transforma em
Passo 4
Fatoramos para tornar a expressão numa forma com um limite padrão. Observando que
temos
Portanto
Passo 5
Usamos o limite trigonométrico padrão
Explicação rápida e intuitiva desse fato:
. Sabe-se que
e
. Portanto
Aplicando com
(e lembrando que quando
também
), obtemos
Passo 6
Substituindo esse resultado em
obtemos
Portanto o limite original vale
. Força aí — passo simples, só lembrar da identidade
e do limite padrão
.