Calcular os seguintes limites:
lim x +infty raizx+raizx+raizxraizx+2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando x tende ao infinito da seguinte expressão:
limx +infty raizx + raizx + raizxraizx + 2
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de limites envolvendo funções com raízes e simplificação de expressões matemáticas. Vamos analisar passo a passo como simplificar essa expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Vamos começar observando o comportamento das raízes quando x cresce para o infinito. Notamos que, à medida que x aumenta, as adições dentro das raízes ( + raizx e + 2 ) têm um impacto menor comparado ao valor de x em si.
Isso nos sugere que podemos simplificar a expressão focando nos termos predominantes.

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar o numerador:
raizx + raizx + raizx
Podemos observar que raizx é muito menor que x quando x é grande. Então, aproximamos:
raizx + raizx + raizx approx raizx + raizx

Passo 4

Agora, vamos simplificar ainda mais:
raizx + raizx approx raizx + x^1/2
Como x^1/2 é menor que x para x grande, podemos considerar que:
raizx + x^1/2 approx raizx

Passo 5

Assim, o numerador simplificado fica aproximadamente raizx . Agora, vamos olhar para o denominador:
raizx + 2
Aqui, o +2 também é insignificante comparado a x quando x tende ao infinito. Portanto:
raizx + 2 approx raizx

Passo 6

Agora, substituindo as aproximações no limite original, temos:
limx +infty raizxraizx = limx +infty 1 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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